第一册 数是什么，从数数到代数思维

第一部分：数是怎么来的

序章：写给每一个害怕数学的人

一、如果你觉得自己学不会数学，请先看这里

你好。

当你翻开这本书，也许你已经很久没有碰过数学了。也许学生时代的数学课给你留下了不太愉快的记忆。也许你一直觉得自己“不是学数学的料”，觉得数学是留给那些聪明人的。

我想告诉你一件事：这种想法是错的。

数学不是天才的专利，它只是被包装得太复杂了。

你想想看，你生活中用到的数学，算账、看时间、比价格、量尺寸，这些你都会，而且用得挺好。你之所以觉得数学难，不是因为你的脑子有问题，而是因为那些教材和老师，把简单的东西讲复杂了。

这本书就是为此而写的。

我要做一件事：把数学最本质的东西，用最直白的话讲给你听。不讲玄乎的理论，不甩复杂的术语，不跳过任何一步。让每一个愿意慢慢想的人，都能自己看懂。

哪怕是“愚笨”的人，其实世上没有愚笨的人，只有被复杂表达吓住的人。

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二、这本书要讲什么

这套书一共五本，这是第一本。

第一本书的名字叫《数是什么，从数数到代数思维》。我们要从最原始的问题开始：

· 数是怎么来的？

· 为什么要有负数、分数、无理数？

· 加减乘除到底在做什么？

· 为什么要用字母代替数？

· 方程是什么？怎么解？

这些问题，你以前可能没想过，或者想过但没搞明白。这本书会带着你，一步一步把这些问题想清楚。

我们不赶时间。看不懂的地方，停下来，回头翻翻，想明白了再往前走。每一步都踩实了，就不会摔跤。

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三、这本书怎么用

这本书是为自学写的，所以有几个特点：

第一，不预设你有任何基础。

我从最原始的“数数”开始讲起。你不必回忆以前学过什么，也不用担心自己忘了什么。跟着书走就行。

第二，每一步都讲透。

我不会跳步。不会说“显然可得”或者“易证”这种让人抓狂的话。每一步怎么来的，为什么这么做，都会讲清楚。

第三，语言直白，不装高深。

能用一句话说清的，绝不用两句话。能用生活例子说明的，绝不用抽象概念。你读这本书，就像听一个朋友在旁边慢慢给你讲，而不是听教授在上面念天书。

第四，有练习，但不多。

每一章后面都有一些“动手试试”。这些练习不是为了考你，是为了帮你确认自己真的懂了。做错了没关系，知道错在哪，改过来，就进步了。

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四、你需要准备什么

一支笔，几张纸。

就够了。

数学不是用眼睛看的，是用手做的。光看不练，看十遍也还是别人的。动手写写画画，哪怕只是抄一遍例题，感觉都不一样。

所以，请你准备一支笔，几张草稿纸。看书的时候，随时动手算一算，画一画。

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五、几个小小的建议

第一，看不懂就停下来。

这不是比赛。没有人催你。看不懂的地方，说明前面有东西没踩实。回头翻翻，把那个点搞明白，再往前走。这样虽然慢，但每一步都是自己的。

第二，别怕犯错。

错误是最好的老师。做错了，你才知道自己哪里没想透。改过来，就比原来强了一点。最怕的不是犯错，而是不敢动手。

第三，每天一点点，比一天很多要好。

数学需要消化。每天看一点，留点时间让脑子慢慢转，效果比一口气吞下去好得多。

第四，相信自己。

你能看懂这本书。你能学会数学。你不是笨，你只是之前没遇到对的讲法。

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六、最后一句

这本书想做的，就是把数学还给你。

它本来就不该是少数人的专利。它本来就是我们理解世界的工具。它本来就可以，也应该，被每一个人掌握。

如果你准备好了，我们就从最原始的问题开始：

数数，到底是在数什么？

翻过这一页，我们就出发。

第1章 数数的本质：不是背数字，是一一对应

1.1 一个看起来很简单的问题

你先想一个问题：数数是什么？

你可能脱口而出：数数就是1、2、3、4、5……啊。

没错，我们从小就是这么学的。但是我想请你往深了想一层：

如果这个世界上从来没有发明过数字，你该怎么数数？

你没有1、2、3、4这些数字可用，你怎么知道“我有几只羊”？

这不是一个无聊的假设。几千年前，人类的祖先确实没有数字可用，但他们确实需要数清楚自己有多少财产，多少只羊、多少头牛、多少袋粮食。

他们是怎么做到的？

1.2 古人的三个办法

办法一：摆石子

这是最简单直接的办法。

早上把羊放出去吃草，每出去一只羊，就往口袋里放一颗小石子。晚上羊回来，每回来一只羊，就从口袋里拿出一颗石子。

如果晚上口袋里的石子都拿光了，说明羊全回来了，一只没少。

如果口袋里还剩石子，说明回来的羊比出去的时候少，有羊丢了。

如果石子不够拿（羊回来得比石子多），那就有意思了，要么是别人家的羊混进来了，要么是你家的羊生了小羊。

你看，用这个办法，完全不需要数字，就能知道羊的数量有没有变化。

这叫一一对应：一只羊对应一颗石子。羊和石子一一对上，就对了；对不上，就出问题了。

办法二：刻痕

在木棍或者骨头上刻一道痕，代表一只羊。

每出去一只羊，刻一道。每回来一只，在旁边划一道或者擦掉。同样是一一对应。

考古学家发现，很多原始部落都用过这种办法。有的甚至能在骨头上刻几万道痕，那是他们几十年积累的财产记录。

办法三：结绳

在绳子上打一个结，代表一只羊。

这是古代中国、南美洲、日本都用过的办法。大事打大结，小事打小结，不同颜色的绳子代表不同的东西。

直到几十年前，有些没有文字的民族还在用结绳记事。

1.3 从一一对应到数字

你发现没有，这三种办法有一个共同点：都不需要数字。

不管是石子、刻痕还是绳结，它们都是羊的“替身”。羊在外面吃草，你看不见羊，但是你能看见口袋里的石子，石子就是羊的代表。

这就是数数的本质：建立一一对应的关系。

那数字是怎么来的呢？

人类后来发现，每次数羊都要重新摆石子、重新刻痕，太麻烦了。而且如果你要跟别人说“我有很多羊”，你没法把一堆石子搬过去给别人看。

更重要的是，你需要一个办法，把数量记下来，以后还能看懂。

于是人们开始给不同的数量起名字。

比如：

· 一道刻痕 → 叫“一”

· 两道刻痕 → 叫“二”

· 三道刻痕 → 叫“三”

这就是最原始的数字。

后来，不同文明发明了不同的数字符号。古埃及人画线条，古罗马人写Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，玛雅人用点和横，中国人用一、二、三。

我们今天用的阿拉伯数字（1、2、3、4……），其实是印度人发明的，阿拉伯人传播的，所以叫“阿拉伯数字”。这名字起得不准确，但大家都这么叫，也就习惯了。

1.4 为什么说一一对应是本质

知道这个有什么用？我数数不还是1、2、3、4吗？

理解一一对应，最重要的作用是：让你知道数数不是背口诀，而是讲逻辑。

举个例子。

一个三四岁的小孩数数，经常这样：指着苹果说“1、2、3、4、5、6、7、8”，其实桌上只有5个苹果。他是在背数字，不是真的在数数。

真正会数数的小孩，是用手指一个一个点着苹果，点一个说一个数，点到最后一个苹果，说的那个数就是苹果的个数。这叫“手口一致”，就是手指和苹果一一对应。

再比如，你看见两堆东西，想知道哪堆多。如果两堆都不大，你可以一个一个数过去。但如果两堆都很大，或者你不能移动它们，怎么办？

还是用一一对应的思想：把第一堆的每一个和第二堆的每一个配对。如果第一堆的配完了，第二堆还有剩，那第二堆就多。如果正好配完，那就一样多。

这个方法，完全不需要知道每堆具体有多少个。

1.5 数轴的雏形：把数字排成一排

当我们开始把数字按顺序排列，1、2、3、4、5……这就形成了一条线。

这条线有个专门的名字，叫数轴。不过现在先不讲那么深，你只需要知道：数字是有顺序的，越往后越大，越往前越小。

而且，每个数字后面都跟着一个“下一个”。1后面是2，2后面是3，3后面是4……永远没有尽头。

这就是自然数的两个特点：

1. 有顺序：1在2前面，2在3前面

2. 无限多：永远可以往后数，数不完

1.6 这一章的核心就三句话

1. 数数的本质，不是背数字，而是建立一一对应。

2. 数字只是给不同的数量起的名字。

3. 把数字按顺序排成一排，就有了数轴的雏形。

不管你以后学多深的数学，这三点都跑不掉。很多孩子（甚至大人）学数学卡住，就是因为一开始没搞明白“数数到底是在干什么”，以为就是背1到100，结果后面一遇到应用题就懵。

动手试试

1. 不用数字：你面前有一堆黄豆和一堆绿豆，怎么比较哪堆多？（不能用数字，不能数个数）

2. 小孩的困惑：一个小朋友指着桌子上的3个苹果，嘴里数“1、2、3、4、5、6”，然后说“有6个苹果”。他错在哪？怎么给他讲明白？

3. 生活中的一一对应：你能找出生活中哪些地方在用一一对应的思想吗？（提示：食堂打饭、排队上车、考试座位……）

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下一章预告：自然数，1、2、3、4……到底是怎么回事？

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第2章 自然数：1、2、3、4……到底是怎么回事

2.1 从一一对应到自然数

上一章我们说了，数数的本质是一一对应。古人用石子、刻痕、绳结来代表羊的数量。

但这里有个问题：如果你有153只羊，你要在绳子上打153个结吗？

那绳子得有多长？你要怎么数清楚这153个结是不是正好153个？

显然不行。

所以人类需要一个更聪明的办法：用符号来表示数量，而不是真的摆一堆石子。

这就是自然数的由来。

自然数就是：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11……一直往后，永远没有尽头。

为什么叫“自然”数？

因为这些数字在生活中“自然”就会出现：

· 你有1个鼻子

· 人有2只手

· 三角形有3条边

· 正方形有4条边

· 一只手有5个手指头

· 一周有7天

· 一个八宝粥有8种材料（如果你真数过的话）

· 九宫格有9个格子

· 一双手有10个手指头

你看，这些数字都是从生活中来的，不是数学家凭空造出来的。

2.2 自然数的两个用处：数量和顺序

你有没有发现，“3”这个数字可以用在两个完全不同的地方？

第一种用法：表示“有多少个”

· 我有3个苹果

· 教室里有3扇窗户

· 他吃了3碗饭

这里的3，是在说数量。这种叫基数（基，就是基础、根本的意思，表示根本的数量）。

第二种用法：表示“第几个”

· 我考了第3名

· 请翻到第3页

· 他住在3楼

这里的3，是在说顺序。这种叫序数（序，就是顺序的意思）。

有意思的是，虽然都是同一个数字“3”，但在不同的地方意思不一样。

你想想：我说“3个苹果”和“第3个苹果”，是一回事吗？

完全不是。

“3个苹果”是指有三个苹果，可能是排成一排的第一、第二、第三个，也可能是一堆随便放的。

“第3个苹果”是指在一排苹果中，从某个方向数的第三个，只有一个苹果。

所以你看，同一个数字，在不同的语境里，扮演的角色是不同的。

2.3 自然数的三个重要性质

自然数看起来很简单，但数学家发现它们有三个非常重要的性质。

性质一：每个自然数都有“下一个”

1的下一个是2，2的下一个是3，3的下一个是4……100的下一个是101，1000的下一个是1001。

不管多大的自然数，你都能找到比它大1的那个数。所以自然数是无限多的。

你可以一直往下数：1、2、3、4……数到100、1000、10000、一亿、一兆……永远数不完。

这个性质，数学家叫“无限性”。听起来很高深，其实说白了就是：没有最大的自然数。

性质二：自然数是有顺序的

1在2前面，2在3前面，3在4前面……100在101前面。

这个顺序很重要，因为它让我们可以比较大小。5比3大，因为5在3后面；2比7小，因为2在7前面。

这个顺序是固定的，不会变。不像排队，有时候可以插队，自然数不能插队，3永远在4前面，永远不可能跑到4后面去。

性质三：两个自然数相加或相乘，结果还是自然数

这个性质叫“封闭性”。听起来玄乎，其实很简单：

· 3 + 5 = 8，8是自然数

· 7 + 9 = 16，16是自然数

· 4 × 6 = 24，24是自然数

· 11 × 13 = 143，143是自然数

只要是自然数加自然数，或者自然数乘自然数，结果一定还是自然数，不会跑出自然数的范围。

但是减法和除法就不一定了：

· 5 - 3 = 2，2是自然数，但3 - 5呢？等于-2，-2不是自然数

· 6 ÷ 3 = 2，2是自然数，但7 ÷ 3呢？等于2.333。，不是自然数

这一点很重要，后面我们讲到负数、分数的时候会再提到。

2.4 两个特殊的自然数：0和1

关于0是不是自然数，数学界是有争议的。有的书上说自然数从1开始，有的说从0开始。

这不重要。重要的是你知道0和1各自有什么特别的地方。

先说说1

1是最小的自然数（如果从1开始算的话）。1很特别，因为：

1 × 任何数 = 那个数本身

比如：1 × 5 = 5，1 × 100 = 100，1 × 3,456 = 3,456

任何数 ÷ 1 = 那个数本身

比如：7 ÷ 1 = 7，25 ÷ 1 = 25

1是乘法的“单位元”，这是数学术语，你不用记，只需要知道：任何数乘以1，结果不变。

再说说0

0表示“没有”。比如：

· 我口袋里0块钱，就是没钱

· 温度0度，不是没有温度，而是表示一个刻度

· 考试得0分，就是一道题都没做对

0也很特别：

0 + 任何数 = 那个数本身

比如：0 + 8 = 8，0 + 23 = 23

任何数 - 0 = 那个数本身

比如：12 - 0 = 12，37 - 0 = 37

0 × 任何数 = 0

比如：0 × 5 = 0，0 × 100 = 0，0 × 1,000,000 = 0

但是，0不能做除数。也就是不能有“某个数 ÷ 0”。为什么？后面会有专门一章讲这个。

2.5 数轴：把自然数排成一排

把自然数按顺序写出来，放在一条直线上，就得到了一条“数轴”的雏形。

我们这样画：

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

```

每一个自然数对应一个点。从1往右，数字越来越大；从右往左，数字越来越小。

这条线会一直往右延伸，没有尽头，因为自然数是无限多的。

数轴是一个非常强大的工具。后面我们会经常用到它。比如：

· 比较大小：右边的数比左边的数大

· 做加法：向右移动

· 做减法：向左移动

现在你只需要知道：数轴就是把数字按顺序排成一排。

2.6 这一章的核心

1. 自然数是1、2、3、4……一直往后，没有尽头。

2. 自然数有两个用处：表示“多少个”（基数）和表示“第几个”（序数）。

3. 自然数有三个性质：每个数都有下一个、有固定顺序、加减乘都在自然数范围内（减除不一定）。

4. 1和0是两个特殊的数：1乘任何数不变，0加任何数不变，0乘任何数得0。

5. 把自然数按顺序排在一条线上，就是数轴。

动手试试

1. 基数还是序数？ 判断下面的“3”是基数还是序数：

· 公交车3路

· 我买了3个包子

· 他考了第3名

· 3号楼

· 3个人

2. 下一个是多少？

· 45的下一个自然数是？

· 99的下一个呢？

· 1000的下一个呢？

· 有没有最大的自然数？为什么？

3. 想想看：为什么说“0不能做除数”？你可以在生活中举个例子试试，比如把10个苹果分给0个人，怎么分？

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下一章预告：数轴，把数字放在线上看

第3章 数轴，把数字放在线上看

3.1 为什么要发明数轴

上一章最后，我们画了一条线，把自然数排在上面：

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

```

把数字排成一排，有什么用？我直接看数字不就行了吗？

问得好。

我来告诉你数轴的用处：有些问题，用数字算很抽象，但放到数轴上一看，就特别清楚。

举个例子。

问题一：从3出发，往右走5步，到哪儿？

用数字算：3 + 5 = 8。

用数轴看：找到3的位置，往右数5格，啪，落在8上。

问题二：从9出发，往左走4步，到哪儿？

用数字算：9 - 4 = 5。

用数轴看：找到9的位置，往左数4格，啪，落在5上。

问题三：从2到7，往右走了几步？

用数字算：7 - 2 = 5。

用数轴看：从2到7，中间隔了几格？数一下：2→3（1步）、3→4（2步）、4→5（3步）、5→6（4步）、6→7（5步），5步。

你发现没有？数轴把抽象的加减法，变成了具体的左右移动。加法就是向右走，减法就是向左走。

这就是数轴的第一个作用：让数字有位置，让运算有方向。

3.2 数轴的三要素

一条完整的数轴，需要三个东西。

第一要素：原点

原点就是0的位置。

为什么叫“原点”？因为它是“圆”的“点”吗？不是。原点的“原”是“原始”的意思，就是一切的起点。

在数轴上，0是起点。往右是正数，往左是负数（负数后面会讲）。没有0，数轴就没有参照物。

第二要素：正方向

我们一般规定，向右是正方向。

什么叫正方向？就是数字变大的方向。往右走，数字越来越大；往左走，数字越来越小。

这不是数学定律，只是大家的约定。你也可以规定向上是正方向，或者向左是正方向，只要你自己清楚就行。但全世界都习惯向右，所以我们也就向右。

第三要素：单位长度

1格代表多少？

在数轴上，从0到1的距离，叫“单位长度”。这个长度可以任意定，可以定成1厘米，也可以定成1米，甚至可以定成0.5厘米。重要的是，整条数轴上，每一格的长度要一样。

比如0到1是1厘米，那1到2也是1厘米，2到3也是1厘米，不能变。

有了这三个要素，一条数轴才算完整。

我们画一条完整的数轴：

```

原点 正方向→

↓ ↓

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

↑

单位长度：0到1的距离

```

3.3 数轴上的顺序

把数字放到数轴上，顺序就一目了然了。

规律一：右边的数比左边的数大

看看数轴：

· 5在3的右边，所以5 > 3

· 2在7的左边，所以2 < 7

· 4在4的同一个位置，所以4 = 4

就这么简单。你不用背“大于号小于号”怎么开口，只需要想：右边的大，左边的小。

规律二：越往右越大，越往左越小

这个规律听起来像废话，但它很重要。因为它告诉我们：数轴是有方向的。

如果你从1开始，一直往右走，你会经过2、3、4、5……数字越来越大，永远没有尽头。

如果你从10开始，一直往左走，你会经过9、8、7、6……数字越来越小，一直到1，再到0，然后呢？

0再往左是什么？

这个问题，我们下一章会回答。现在先记住：数轴是无限延伸的，左右两边都没有尽头。

3.4 数轴上的距离

数轴不仅能看大小，还能看距离。

什么是距离？

距离就是两个点之间相隔多远。

在数轴上，距离就是两个点之间的格子数。

比如3和8之间的距离是多少？

你在数轴上找：3→4（1格）、4→5（2格）、5→6（3格）、6→7（4格）、7→8（5格）。所以距离是5。

用算式算：8 - 3 = 5。

再比如2和9之间的距离：9 - 2 = 7。

你发现规律了吗？两个数的距离，就是大的减小的。

但注意：距离永远是正的。你不能说“3到8的距离是-5”，没有这种说法。距离就是相隔多远，不关心方向。

3.5 数轴上的加减法

现在我们来正式定义：在数轴上怎么做加减法。

加法：向右移动

比如 3 + 5：

1. 先找到3的位置

2. 向右走5步

3. 落在8上，所以 3 + 5 = 8

再比如 2 + 7：

1. 找到2

2. 向右走7步

3. 落在9上，所以 2 + 7 = 9

减法：向左移动

比如 9 - 4：

1. 先找到9的位置

2. 向左走4步

3. 落在5上，所以 9 - 4 = 5

再比如 7 - 3：

1. 找到7

2. 向左走3步

3. 落在4上，所以 7 - 3 = 4

反过来也能用

如果你不知道两个数相差多少，也可以看它们之间隔了几步。

比如：从4到10，需要向右走几步？

1. 从4出发

2. 4→5（1步）、5→6（2步）、6→7（3步）、7→8（4步）、8→9（5步）、9→10（6步）

3. 需要6步，所以 10 - 4 = 6

你看，数轴把加减法变成了走路。这比死记硬背“加法就是加起来，减法就是减掉”要直观得多。

3.6 数轴帮我们理解“0”

在数轴上，0的位置特别重要。

0是正数和负数的分界点。往右是正数，往左是负数（负数我们下一章讲）。

0也是加减法的参照物。

比如：5 + 0，在数轴上怎么走？

找到5，向右走0步，就是原地不动，所以还是5。

0 + 5呢？

找到0，向右走5步，落在5上，所以还是5。

再比如：5 - 0：

找到5，向左走0步，还是原地，所以5。

0 - 5呢？

找到0，向左走5步，这就走到负数区域了，落在-5上。

0 - 5 的结果是负数，这个我们后面再细说。

3.7 数轴帮我们理解“为什么数字无限”

在数轴上，你可以一直往右走，永远走不到头。

1、2、3、4……100、1000、10000……不管你走到多大的数，右边永远还有更大的数。

为什么？因为你可以一直加1。

1000 + 1 = 1001

1001 + 1 = 1002

……

永远加不完，所以数字永远数不完。

这个道理，在数轴上一看就明白：数轴是无限长的，所以数字是无限多的。

3.8 这一章的核心

1. 数轴就是把数字按顺序排在一条线上，0是原点，向右是正方向，每一格长度相等。

2. 数轴上，右边的数比左边的数大。

3. 两个数的距离，就是大的减小的，永远是正数。

4. 加法就是向右移动，减法就是向左移动。

5. 数轴是无限长的，所以数字是无限多的。

动手试试

1. 画数轴

拿出一张纸，画一条数轴，标出0到20的位置。

2. 用数轴做加法

在画的数轴上找出：

· 4 + 6 落在哪？

· 7 + 8 落在哪？

· 12 + 5 落在哪？

3. 用数轴做减法

在数轴上找出：

· 15 - 7 落在哪？

· 20 - 9 落在哪？

· 18 - 10 落在哪？

4. 找距离

不用数轴，直接算：

· 3和11的距离是多少？

· 7和19的距离是多少？

· 4和20的距离是多少？

5. 思考题

如果数轴上的单位长度是0.5厘米，那从0到10的线段有多长？从3到8呢？

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第4章 数不够用了，负数是怎么来的

4.1 一个让人尴尬的问题

前面几章，我们一直在和自然数打交道：1、2、3、4、5……一切看起来都很美好。

但是现在我要问你一个问题：

3减5等于多少？

你可能会愣住。3减5？3比5小，怎么减？

从自然数的角度看，这个问题没有答案。因为在自然数的世界里，你只能大减小，不能小减大。

但生活中真的不会出现“小减大”的情况吗？

让我们来看几个例子。

例子一：温度

今天是5度，明天降温8度，明天的温度是多少？

5 - 8 = ?

如果你只在自然数里找，找不到答案。但实际生活中，明天的温度是零下3度。

例子二：钱

你口袋里只有20块钱，但是你想买一个35块钱的东西。你还差多少钱？

20 - 35 = ?

还差15块。这个“差15块”怎么用数学表示？

例子三：楼层

你在地面（0层），下地下停车场3层，你在几层？

0 - 3 = ?

在地下3层。

例子四：时间

公元前500年，和公元后500年，相差多少年？

这里甚至没有0年（历史上公元元年是1年，没有0年），但人们照样能算。

你发现没有？生活中到处都是“小减大”的情况。如果数学只能处理大减小，那它就没法描述真实世界。

所以，数学家必须面对这个尴尬的问题：自然数不够用了。

4.2 负数的诞生

为了描述“比0还小”的量，人类发明了负数。

什么叫负数？就是小于0的数。

在数轴上，0的左边就是负数：

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

```

负数怎么读？-3读作“负三”，-5读作“负五”。

为什么要在数字前面加个“-”？因为要跟正数区分开。正数就是大于0的数，比如1、2、3、4……有时候正数前面也会加“+”，比如+3，但一般我们省略不写。

所以：

· 3 和 +3 是一个意思（正三）

· -3 是另一个意思（负三）

4.3 负数在生活中是什么意思

负数不是数学家凭空捏造的概念，它在生活中有实实在在的意思。

意思一：欠

如果你有20块钱，你欠别人15块，你实际有多少钱？

20 - 15 = 5，你有5块。

但如果你有20块，你欠别人35块呢？你把20块全还给人家，还欠15块。这“还欠15块”就是-15。

所以负数可以表示欠、亏、不足。

意思二：反方向

如果你从家出发，往东走3公里，你的位置是+3（假设家是0，东为正）。如果你往西走5公里，你的位置就是-5。

所以负数可以表示相反的方向。

意思三：零下

温度计上，0度以上是正数，0度以下是负数。零下5度就是-5℃。

意思四：地下

地面是0层，往上是正数（1层、2层……），往下是负数（-1层、-2层……）。很多商场的地下停车场就是这么标的。

所以你看，负数一点都不神秘，它就在我们身边。

4.4 数轴完整了

有了负数，数轴就完整了。

以前我们只有0和0右边的数：

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

```

现在我们把左边也补上：

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

```

这条数轴有几个特点：

第一，0是分界点。

0的右边是正数，0的左边是负数。0本身既不是正数也不是负数。

第二，数轴无限向两边延伸。

右边无穷大，左边无穷小（负无穷大）。

第三，每个数在数轴上都有一个唯一的位置。

-5在-4左边，-4在-3左边……3在4左边，4在5左边。

第四，数轴是连续的。

-1和-2之间还有-1.5，-1.5和-1.6之间还有-1.55……这涉及到小数和分数，后面会讲。

4.5 负数的比较：谁更大？

在数轴上，我们说过：右边的数比左边的数大。

这个规则对负数同样适用。

看看数轴：

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

```

-1在-2的右边，所以-1 > -2。

-3在-5的右边，所以-3 > -5。

0在-1的右边，所以0 > -1。

很多人会搞混，觉得-5比-3大，因为5比3大。但这是错的。在数轴上一看就明白：-5在左边，-3在右边，所以-3更大。

你可以这样记：负数越靠近0，就越大。 -1比-2大，因为-1离0更近；-0.5比-1大，因为-0.5离0更近。

反过来，负数离0越远，就越小。 -100比-1小得多，因为它在更左边。

4.6 负数的加减法（上）：同向相加

有了负数，加减法就不再只是“向右加向左减”那么简单了。因为现在有四种情况：

1. 正数加正数（我们会的）

2. 正数加负数

3. 负数加正数

4. 负数加负数

别慌，我们一个一个来。

先说最简单的：负数加负数

比如 (-3) + (-4)。

怎么理解？你可以想成：欠3块钱，又欠4块钱，一共欠多少钱？

欠3块就是-3，再欠4块就是-4，总共欠7块，所以(-3) + (-4) = -7。

在数轴上怎么走？(-3) + (-4)：

1. 先找到-3的位置

2. 负数加负数，相当于继续向左走（因为负数代表向左，加负数就是再向左）

3. 向左走4步

4. 落在-7上

所以规律：负数加负数，结果还是负数，把数字部分加起来，前面加负号。

(-5) + (-2) = -7

(-10) + (-3) = -13

(-1) + (-8) = -9

再来看正数加负数

比如 5 + (-3)。

怎么理解？你可以想成：有5块钱，但欠别人3块，实际有多少钱？

5块减掉欠的3块，实际有2块。所以 5 + (-3) = 2。

在数轴上：5 + (-3)：

1. 找到5

2. 加负数，就是向左走（因为负数代表向左）

3. 向左走3步

4. 落在2上

咦？这不就是减法吗？5 + (-3) = 5 - 3 = 2。

对的！正数加负数，其实就是减法，用正数减去负数的数字部分。

再来看负数加正数

比如 (-5) + 3。

怎么理解？欠5块钱，后来赚了3块，还掉3块后，还欠2块。所以 (-5) + 3 = -2。

在数轴上：(-5) + 3：

1. 找到-5

2. 加正数，就是向右走（正数代表向右）

3. 向右走3步

4. 落在-2上

这也是减法，只不过是用大的减小的，然后看谁大决定符号：5比3大，所以结果是负的。

所以 (-5) + 3 = -(5-3) = -2。

4.7 负数的加减法（下）：相反方向

最后一种情况：正数加负数，但负数的数字比正数大

比如 3 + (-7)。

怎么理解？有3块，但欠7块，把3块还了还欠4块，所以 3 + (-7) = -4。

在数轴上：3 + (-7)：

1. 找到3

2. 向左走7步

3. 经过2、1、0、-1、-2、-3、-4，落在-4上

这个结果怎么算？用大的减小的：7-3=4，然后看谁大：7比3大，而7是负的（因为-7），所以结果是-4。

所以规律：正数加负数，如果负数的数字大，结果是负数；如果正数的数字大，结果是正数。数字部分用大的减小的。

总结一下负数的加法：

式子 结果 例子

正+正 正 3+5=8

负+负 负 (-3)+(-5)=-8

正+负（正大） 正 5+(-3)=2

正+负（负大） 负 3+(-5)=-2

负+正（正大） 正 (-3)+5=2

负+正（负大） 负 (-5)+3=-2

你发现没有？最后四种情况，其实都是减法：用大的减小的，符号跟大的走。

4.8 负数的减法

减法比加法稍微复杂一点，因为减去一个负数，会变成加法。

先看几个例子。

例1：5 - 3 = 2（这个简单，正数减正数）

例2：5 - (-3) = ?

怎么理解？你有5块钱，减去“欠3块”是什么意思？

“欠3块”是-3。减去欠3块，相当于什么呢？相当于别人把债给你免了。你本来欠3块，现在不用还了，那你实际上多了3块。

所以 5 - (-3) = 5 + 3 = 8。

在数轴上：5 - (-3)：

1. 找到5

2. 减去负数，就是向右走（因为负数代表向左，减去向左就是向右）

3. 向右走3步

4. 落在8上

例3：-5 - 3 = ?

欠5块，又花了3块（或者又欠了3块），一共欠8块。所以 -5 - 3 = -8。

在数轴上：-5 - 3：

1. 找到-5

2. 减去正数，就是向左走

3. 向左走3步

4. 落在-8上

例4：-5 - (-3) = ?

欠5块，然后免掉了欠的3块，那就只欠2块了。所以 -5 - (-3) = -2。

在数轴上：-5 - (-3)：

1. 找到-5

2. 减去负数，就是向右走

3. 向右走3步

4. 落在-2上

总结一下负数的减法：

式子 相当于 例子

正 - 正 正减正 5-3=2

正 - 负 正加正 5-(-3)=5+3=8

负 - 正 负加负 (-5)-3=(-5)+(-3)=-8

负 - 负 负加正 (-5)-(-3)=(-5)+3=-2

看出来了吗？减去一个数，等于加上这个数的相反数。

什么叫相反数？3的相反数是-3，-5的相反数是5。就是符号相反，数字相同。

所以：

· 5 - (-3) = 5 + 3（-3的相反数是3）

· (-5) - 3 = (-5) + (-3)（3的相反数是-3）

· (-5) - (-3) = (-5) + 3（-3的相反数是3）

这条规则一定要记住，后面学代数的时候会反复用到。

4.9 负数的乘除法

负数的乘除法，比加减法简单，因为规律很整齐。

乘法规律

先看几个例子：

· 3 × 5 = 15（正×正=正）

· 3 × (-5) = -15（正×负=负）

· (-3) × 5 = -15（负×正=负）

· (-3) × (-5) = 15（负×负=正）

规律就一句话：同号得正，异号得负。

什么叫同号？两个都是正数，或者两个都是负数，结果就是正数。

什么叫异号？一正一负，结果就是负数。

除法规律

除法也一样：

· 15 ÷ 3 = 5（正÷正=正）

· 15 ÷ (-3) = -5（正÷负=负）

· (-15) ÷ 3 = -5（负÷正=负）

· (-15) ÷ (-3) = 5（负÷负=正）

同样是：同号得正，异号得负。

这个规律很好记，也不容易错。

4.10 负数让数学完整了

有了负数，数学世界变得完整了。

以前不能做的减法，现在都能做了：

· 3 - 5 = -2

· 1 - 10 = -9

· 0 - 8 = -8

以前不能描述的实际情况，现在都能描述了：

· 零下温度

· 欠钱

· 地下楼层

· 相反方向

更重要的是，负数让数轴变得对称了。0是中心，左右两边是对称的：3和-3到0的距离一样，都是3个单位。

这个对称性，后面学绝对值的时候会用到。

4.11 这一章的核心

1. 负数是小于0的数，用来表示“欠”、“反方向”、“零下”等概念。

2. 在数轴上，负数在0的左边，正数在0的右边。右边的数总比左边的大。

3. 负数比较：越靠近0的负数越大，越远离0的负数越小（-1 > -5）。

4. 负数加法：同号相加符号不变，数字相加；异号相加相当于减法，符号跟大的走。

5. 负数减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

6. 负数乘除法：同号得正，异号得负。

动手试试

1. 比较大小

在下面每组数中，哪个更大？

· -3 和 -7

· -1 和 -0.5

· -10 和 -100

· 0 和 -2

2. 负数加法

计算：

· (-4) + (-7)

· 8 + (-3)

· (-6) + 2

· 4 + (-9)

· (-5) + (-5)

3. 负数减法

计算：

· 7 - (-2)

· (-3) - 5

· (-8) - (-4)

· 6 - (-6)

· (-10) - (-3)

4. 负数乘除法

计算：

· (-4) × 6

· 5 × (-7)

· (-3) × (-8)

· (-20) ÷ 5

· 18 ÷ (-2)

· (-24) ÷ (-4)

5. 生活中的负数

找出生活中5个用到负数的例子（不能重复书上的）。

---

下一章预告：分出来的数，分数是怎么来的

第5章 分出来的数，分数是怎么来的

5.1 又一个让人尴尬的问题

上一章我们解决了“小减大”的问题，负数让减法完整了。

但现在我要问你另一个问题：

3除以4等于多少？

3÷4？3比4小，怎么除？

从自然数的角度看，这个问题同样没有答案。因为在自然数的世界里，除法只能整除，比如6÷3=2，8÷4=2，但3÷4呢？除不尽。

但生活中真的不会出现“把小的分给大的”的情况吗？

让我们来看几个例子。

例子一：分饼

你有一张饼，要分给4个人吃，每个人能分到多少？

一张饼 ÷ 4个人 = ？

如果每个人分到一整张饼，那需要4张饼。但你只有1张。所以每个人只能分到“一部分”饼。这一部分是多少？是“四分之一张”。

例子二：分土地

一块地有3亩，要分给5户人家，每户分多少？

3 ÷ 5 = ？

每户能分到不到一亩，具体是“五分之三亩”。

例子三：测量

你有一根绳子，量一个桌子长度。桌子比1米长，但比2米短。怎么表示这个长度？

1米多出来的那部分，可能是“三分之一米”或者“十分之三米”。

例子四：时间

半小时是多少小时？半小时就是“二分之一小时”。

一刻钟是多少小时？一刻钟就是“四分之一小时”。

你发现没有？生活中到处都是“分东西”的情况。如果把东西分成整数份，每份就是“几分之一”。如果东西不够分，或者分不完，就需要用分数来表示。

所以，自然数又不够用了。

5.2 分数的诞生

为了描述“把一个整体平均分成几份”这样的量，人类发明了分数。

什么叫分数？就是把一个东西平均分成若干份，取其中的一份或几份。

分数怎么写？写成 \frac{a}{b} 的形式，比如 \frac{1}{2}、\frac{3}{4}、\frac{5}{8}。

· 下面的数叫分母，表示“把整体平均分成了几份”

· 上面的数叫分子，表示“取其中的几份”

· 中间那条线叫分数线，就是“平均分”的意思

比如 \frac{3}{4}：

· 分母4：把整体平均分成4份

· 分子3：取其中的3份

· 读作“四分之三”

为什么叫“分”数？因为这个数是从“分东西”来的。分数就是“分出来的数”。

5.3 分数的本质：除法

分数和除法是什么关系？

我告诉你一个秘密：分数就是除法，除法就是分数。

\frac{3}{4} 是什么意思？就是 3 ÷ 4。

\frac{5}{8} 是什么意思？就是 5 ÷ 8。

\frac{1}{2} 是什么意思？就是 1 ÷ 2。

你仔细想想：3÷4，不就是把3平均分成4份吗？这和分数的定义完全一样。

所以分数和除法是同一件事的两种写法：

· 用÷写，叫除法算式

· 用分数线写，叫分数

只不过除法算式通常用于计算过程，分数更常用于表示一个具体的数。

比如 \frac{1}{2} 就是一个数，它等于0.5。1÷2也是一个算式，结果也是0.5。

5.4 分数的种类

分数可以分为几种情况。

第一种：真分数

分子比分母小的分数，叫真分数。比如 \frac{1}{2}、\frac{2}{3}、\frac{5}{8}。

真分数的值都小于1。因为分子比分母小，你取的份数少于总份数，肯定不到一个整体。

第二种：假分数

分子比分母大或者相等的分数，叫假分数。比如 \frac{3}{2}、\frac{5}{5}、\frac{7}{4}。

假分数的值大于或等于1。因为取的份数等于或多于总份数。

\frac{5}{5} 就是1，因为把整体分成5份，取5份，就是整个。

\frac{3}{2} 就是1.5，因为把1个整体分成2份，取3份，相当于1个半。

第三种：带分数

带分数是整数和真分数合起来的写法。比如 1\frac{1}{2}、2\frac{3}{4}。

1\frac{1}{2} 就是1加上 \frac{1}{2}，也就是1.5。

假分数和带分数可以互相转换：

· 假分数 \frac{3}{2} = 带分数 1\frac{1}{2}（因为3÷2=1余1）

· 带分数 2\frac{3}{4} = 假分数 \frac{11}{4}（因为2×4+3=11）

5.5 分数在数轴上的位置

分数在数轴上也能找到对应的点。

比如 \frac{1}{2}：把0到1这一段平均分成2份，中间的那个点就是 \frac{1}{2}。

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，

0 1/2 1 3/2 2 5/2 3 7/2 4

```

比如 \frac{3}{4}：把0到1平均分成4份，第3个点就是 \frac{3}{4}。

比如 \frac{5}{2}：就是2.5，在2和3正中间。

你发现没有？分数把数轴上的空隙填满了。

以前只有整数的时候，数轴上的点是稀疏的：

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

```

有了分数，每个整数之间都有无数个点：

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

0 1/4 1/2 3/4 1 5/4 3/2 7/4 2 9/4

```

0到1之间就有 \frac{1}{4}、\frac{1}{2}、\frac{3}{4}……如果继续细分，还有 \frac{1}{8}、\frac{3}{8}、\frac{5}{8}……无穷多个。

这就引出了一个重要的概念：分数的稠密性。

5.6 分数的稠密性

什么叫稠密？

用一句话说：任意两个分数之间，都还有无数个分数。

比如 \frac{1}{3} 和 \frac{2}{3} 之间，有没有分数？

有。\frac{1}{2} 就在它们之间吗？等等，\frac{1}{2} 是0.5，\frac{1}{3} 约等于0.333，\frac{2}{3} 约等于0.667，0.5确实在中间。

但我要的不是一个，我要问的是：它们之间有多少个分数？

答案是：无穷多个。

比如：

· \frac{3}{8}（0.375）

· \frac{4}{9}（约0.444）

· \frac{5}{12}（约0.417）

· \frac{7}{18}（约0.389）

……

你可以不停地找出新的分数，永远找不完。

这就是分数的稠密性：数轴上的点，密密麻麻，没有空隙。

这一点和整数完全不同。整数之间是有空隙的，1和2之间就没有整数。但分数不同，任何两个分数之间都还有分数。

5.7 分数的基本性质：为什么 \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}

你肯定知道，\frac{1}{2} 和 \frac{2}{4} 是相等的。但为什么？

因为它们是同一个点。

把一张饼平均分成2份，取1份，得到半张饼。

把一张饼平均分成4份，取2份，还是半张饼。

所以 \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \cdots

这就引出了分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。

用式子写就是：

\frac{a}{b} = \frac{a \times c}{b \times c} \quad (c \neq 0)

\frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} \quad (c \neq 0)

这个性质非常重要，因为后面约分、通分都要用到它。

5.8 约分：让分数变简单

什么叫约分？就是把一个分数化成分子分母都比较小，但大小不变的形式。

比如 \frac{4}{8}，分子分母同时除以4，得到 \frac{1}{2}。这就是约分。

比如 \frac{6}{9}，分子分母同时除以3，得到 \frac{2}{3}。

比如 \frac{12}{18}，分子分母同时除以6，得到 \frac{2}{3}。

约分到什么时候为止？到分子和分母互质为止。什么叫互质？就是除了1以外，没有共同的约数。

比如 \frac{2}{3}，2和3除了1以外，没有其他共同的约数，就不能再约了。

约分的本质，就是利用分数的基本性质，让分数变得更简洁。

5.9 通分：让分数能比较、能加减

什么叫通分？就是把几个分母不同的分数，化成分母相同的形式。

比如 \frac{1}{2} 和 \frac{1}{3}，怎么比较大小？

直接看不出来。但如果你把它们通分：

· \frac{1}{2} = \frac{3}{6}（分子分母同乘3）

· \frac{1}{3} = \frac{2}{6}（分子分母同乘2）

现在分母都是6，就比较分子：3 > 2，所以 \frac{1}{2} > \frac{1}{3}。

通分有什么用？

1. 比较大小：分母相同，分子大的就大

2. 加减法：分母相同才能直接加减

比如 \frac{1}{2} + \frac{1}{3}：

先通分：\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

比如 \frac{3}{4} - \frac{1}{6}：

通分：\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}

通分的关键是找到公分母，最好是最小公倍数，这样数字比较小，好算。

5.10 分数的加减法

有了通分，分数的加减法就简单了。

加法法则：先通分，再分子相加，分母不变

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}

比如 \frac{2}{3} + \frac{3}{5}：

\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} + \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{19}{15}

减法法则：先通分，再分子相减，分母不变

\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} - \frac{bc}{bd} = \frac{ad - bc}{bd}

比如 \frac{5}{6} - \frac{1}{4}：

\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} - \frac{1 \times 6}{4 \times 6} = \frac{20}{24} - \frac{6}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}

注意最后要约分。

5.11 分数的乘法

分数的乘法比加减法简单，因为不需要通分。

乘法法则：分子乘分子，分母乘分母

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

比如 \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}

比如 \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

整数和分数相乘怎么办？把整数看成 \frac{整数}{1}：

比如 3 \times \frac{2}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5}

5.12 分数的除法

分数的除法也不难，记住一句话：除以一个分数，等于乘以它的倒数。

什么叫倒数？就是分子分母交换位置。

· \frac{2}{3} 的倒数是 \frac{3}{2}

· \frac{5}{1} 的倒数是 \frac{1}{5}（也就是5的倒数是 \frac{1}{5}）

· \frac{1}{4} 的倒数是 4

除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}

比如 \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

比如 \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}

比如 3 \div \frac{1}{2} = \frac{3}{1} \times \frac{2}{1} = 6

这个“除以一个数等于乘以它的倒数”，一定要记牢。

5.13 分数和小数

分数和小数是什么关系？

小数就是分数的另一种写法。

比如 \frac{1}{2} 写成小数是 0.5

\frac{1}{4} 写成小数是 0.25

\frac{3}{4} 写成小数是 0.75

\frac{1}{3} 写成小数是 0.3333……（无限循环）

怎么把分数化成小数？用分子除以分母。

\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375

怎么把小数化成分数？

· 0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

· 0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

· 0.375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}

有限小数，直接写成分母是10、100、1000……的分数，然后约分。

无限循环小数化成分数稍微复杂一点，这里先不展开。

5.14 分数让数轴更稠密

有了分数，数轴上的点就密密麻麻了。

每一个分数，都在数轴上有一个确定的位置。

每两个分数之间，还有无穷多个分数。

这就引出了一个重要的问题：分数能不能填满整个数轴？

数轴上的每一个点，是不是都能用一个分数来表示？

答案是：不能。

因为还有一类数，不能用分数表示。比如圆的周长和直径的比例 \pi（约3.14159…），比如正方形的对角线长 \sqrt{2}（约1.41421…）。

这些数叫无理数，它们不能用两个整数的比来表示。我们会在后面讲到小数的时候再详细说。

但至少，分数解决了一大类问题，所有“分东西”的问题。

5.15 这一章的核心

1. 分数是从“分东西”来的，表示把一个整体平均分成若干份，取其中的几份。

2. 分数就是除法：\frac{a}{b} = a \div b。

3. 分数在数轴上填满了整数之间的空隙，而且任意两个分数之间还有无穷多个分数（稠密性）。

4. 分数的基本性质：分子分母同乘或同除以一个数（0除外），大小不变。

5. 约分：让分数变简单；通分：让分数能比较、能加减。

6. 分数加减法：先通分，再分子加减，分母不变。

7. 分数乘法：分子乘分子，分母乘分母。

8. 分数除法：除以一个数等于乘以它的倒数。

9. 分数和小数可以互相转化，小数是分数的另一种写法。

动手试试

1. 分数的意义

用图画出 \frac{2}{3}、\frac{5}{4}、\frac{7}{8}。

2. 约分

把下面分数约成最简形式：

· \frac{6}{8}

· \frac{9}{12}

· \frac{15}{25}

· \frac{18}{24}

· \frac{20}{30}

3. 通分

把下面各组分数通分：

· \frac{1}{2} 和 \frac{1}{3}

· \frac{2}{3} 和 \frac{3}{4}

· \frac{3}{5} 和 \frac{2}{7}

· \frac{5}{6} 和 \frac{3}{8}

4. 分数加减法

计算：

· \frac{1}{2} + \frac{1}{4}

· \frac{2}{3} + \frac{3}{5}

· \frac{5}{6} - \frac{1}{2}

· \frac{7}{8} - \frac{2}{3}

· \frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{1}{3}

5. 分数乘除法

计算：

· \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}

· \frac{5}{6} \times \frac{2}{5}

· \frac{3}{4} \div \frac{1}{2}

· \frac{5}{8} \div \frac{3}{4}

· 2 \div \frac{3}{4}

6. 分数和小数互化

把下面分数化成小数：

· \frac{3}{5}

· \frac{7}{8}

· \frac{2}{3}（保留三位小数）

把下面小数化成分数并约分：

· 0.6

· 0.75

· 0.125

· 0.375

7. 思考题

为什么说“任意两个分数之间还有无数个分数”？你能找出 \frac{1}{3} 和 \frac{1}{2} 之间的三个分数吗？

---

下一章预告：分出来的数（续），小数是怎么回事

第6章 小数的秘密，分数的另一种写法

6.1 从生活里来的小数

你有没有注意过，生活中很多数都是用小数表示的：

· 一瓶水 1.5 升

· 一斤苹果 3.98 元

· 身高 1.75 米

· 体温 36.5 度

· 考试成绩 89.5 分

· 圆周率 3.14159……

为什么人们喜欢用小数？因为小数看起来更直观。

1.5 升，你一看就知道是 1 升多，多多少？多 0.5 升，也就是半升。

\frac{3}{2} 升，你还要想一下：3/2 是多少？哦，是 1.5。

这就是小数的好处：它直接用整数部分和小数部分来表示一个数，整数部分一看就知道，小数部分就是“不到1”的那部分。

6.2 小数的本质

小数的本质是什么？一句话就能说清楚：

小数就是分母是10、100、1000……的分数。

你看：

· 0.1 = \frac{1}{10}

· 0.3 = \frac{3}{10}

· 0.07 = \frac{7}{100}

· 0.25 = \frac{25}{100}

· 0.375 = \frac{375}{1000}

小数点后面的位数，就对应着分母：

· 1 位小数 → 分母是 10

· 2 位小数 → 分母是 100

· 3 位小数 → 分母是 1000

· n 位小数 → 分母是 10ⁿ

所以小数和分数是一一对应的。任何一个有限小数，都可以写成一个分数；任何一个分母是10、100、1000……的分数，都可以写成一个小数。

6.3 小数的数位：个位、十位、十分位、百分位……

我们小时候学数位，学过个位、十位、百位……那是整数部分。

小数部分也有自己的数位：

```

3 . 1 4 1 5 9

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

个位 十分位 百分位 千分位 万分位 十万分位

1/10 1/100 1/1000 1/10000 1/100000

```

小数点后面第一位叫十分位，表示几个 0.1（也就是 \frac{1}{10}）

第二位叫百分位，表示几个 0.01（也就是 \frac{1}{100}）

第三位叫千分位，表示几个 0.001（也就是 \frac{1}{1000}）

依此类推。

所以 3.14159 的意思是：

· 3 个 1

· 1 个 0.1

· 4 个 0.01

· 1 个 0.001

· 5 个 0.0001

· 9 个 0.00001

加起来就是：

3 + 0.1 + 0.04 + 0.001 + 0.0005 + 0.00009 = 3.14159

6.4 小数的读法

小数怎么读？

3.14159 读作：三点一四一五九

就这么简单。小数点读作“点”，后面的数字一个一个读出来。

不要读成“三点一万四千一百五十九”，那是整数的读法，不是小数。

0.5 读作“零点五”，也可以读作“点五”，但在正式场合最好读全。

6.5 小数和分数的互相转化

分数化小数

分数化小数很简单：用分子除以分母。

比如 \frac{3}{4}：

3 ÷ 4 = 0.75

比如 \frac{5}{8}：

5 ÷ 8 = 0.625

比如 \frac{2}{3}：

2 ÷ 3 = 0.6666……除不尽，会无限循环。

这里要分两种情况：

第一种：除得尽

分母只含有质因数 2 和 5 的分数，一定能化成有限小数。

· \frac{1}{2} = 0.5（分母 2）

· \frac{1}{4} = 0.25（分母 2×2）

· \frac{1}{5} = 0.2（分母 5）

· \frac{1}{8} = 0.125（分母 2×2×2）

· \frac{1}{10} = 0.1（分母 2×5）

· \frac{1}{20} = 0.05（分母 2×2×5）

为什么？因为分母是 2ⁿ×5ᵐ 的分数，总可以化成 \frac{?}{10^k} 的形式，也就是有限小数。

第二种：除不尽

分母含有 2 和 5 以外的质因数，就会化成无限循环小数。

· \frac{1}{3} = 0.333333……（循环节是 3）

· \frac{1}{6} = 0.166666……（循环节是 6）

· \frac{1}{7} = 0.142857142857……（循环节是 142857）

· \frac{1}{9} = 0.111111……（循环节是 1）

· \frac{1}{11} = 0.090909……（循环节是 09）

这些小数虽然无限，但是有规律地重复，叫“循环小数”。

小数化分数

小数化分数也简单，分两种情况：

有限小数：小数点后有几位，分母就是 1 后面加几个 0，分子就是去掉小数点后的数，然后约分。

· 0.3 = \frac{3}{10}

· 0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

· 0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}

· 1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

· 3.14159 = \frac{314159}{100000}（这个不用约分，已经最简）

循环小数：化成分数需要一点技巧，但也不难。

比如 0.3333……（循环节是 3），设 x = 0.3333……，那么 10x = 3.3333……，相减得 9x = 3，所以 x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}。

比如 0.252525……（循环节是 25），设 x = 0.252525……，那么 100x = 25.252525……，相减得 99x = 25，所以 x = \frac{25}{99}。

规律：循环小数化分数，分子是循环节，分母是 9……9（9 的个数等于循环节的位数）。

6.6 小数的比较大小

比较两个小数的大小，其实和比较整数差不多，但要注意对齐小数点。

规则：先比整数部分，整数部分大的就大；整数部分相同，再比小数部分，从左到右一位一位比。

比如 3.14 和 3.141：

· 整数部分都是 3，相同

· 十分位都是 1，相同

· 百分位都是 4，相同

· 千分位：3.14 可以看成 3.140，千分位是 0；3.141 的千分位是 1

· 0 < 1，所以 3.14 < 3.141

比如 0.5 和 0.49：

· 整数部分都是 0

· 十分位：5 > 4，所以 0.5 > 0.49

不用往下比了。

比如 -1.5 和 -1.8：

负数比较要小心，绝对值大的反而小。

· 整数部分都是 -1

· 十分位：5 < 8，但因为是负数，绝对值小的反而大，所以 -1.5 > -1.8

或者用数轴想：-1.5 在 -1.8 右边，所以 -1.5 更大。

6.7 小数的加减法

小数的加减法，关键就一条：小数点对齐。

为什么要对齐小数点？因为要对齐数位，十分位对齐十分位，百分位对齐百分位。

比如 3.14 + 2.5：

```

3.14

+ 2.5

，

5.64

```

把 2.5 写成 2.50 就清楚了：

```

3.14

+ 2.50

，

5.64

```

比如 5.6 - 2.38：

```

5.60

- 2.38

，

3.22

```

5.6 写成 5.60，这样百分位就能对齐了。

规则：

1. 把小数点对齐（也就是相同数位对齐）

2. 按整数加减法计算

3. 在结果中对齐小数点位置

6.8 小数的乘法

小数乘法比加减法稍微复杂一点，但也不难。

比如 3.14 × 2.5：

步骤一：先当整数乘，不管小数点

314 × 25 = 7850

步骤二：数小数点后有几位

3.14 有 2 位小数

2.5 有 1 位小数

总共 2+1=3 位小数

步骤三：从右边数出 3 位，点上小数点

7850 → 从右边数 3 位：7.850

所以 3.14 × 2.5 = 7.85（末尾的 0 可以去掉）

规则：

1. 先忽略小数点，当作整数相乘

2. 数一数两个因数一共有几位小数

3. 从积的右边数出同样位数，点上小数点

4. 去掉末尾的 0

比如 0.2 × 0.3：

2 × 3 = 6

0.2 有 1 位小数，0.3 有 1 位小数，共 2 位

6 → 从右边数 2 位：0.06

所以 0.2 × 0.3 = 0.06

很多人会错成 0.6，就是因为忘了数小数位数。

6.9 小数的除法

小数除法分两种情况。

情况一：除数是整数

比如 6.3 ÷ 3：

直接除，小数点对齐：

```

2.1

3)6.3

6

—

0 3

3

—

0

```

所以 6.3 ÷ 3 = 2.1

比如 5.6 ÷ 4：

```

1.4

4)5.6

4

—

1 6

1 6

—

0

```

规则： 按整数除法算，小数点对齐被除数的小数点。

情况二：除数是小数

比如 6.3 ÷ 0.3：

步骤一：把除数变成整数

0.3 要变成 3，需要乘以 10

被除数也要同时乘以 10（这样才能保证商不变）

6.3 × 10 = 63

步骤二：变成整数除法

63 ÷ 3 = 21

所以 6.3 ÷ 0.3 = 21

比如 3.14 ÷ 0.2：

0.2 × 10 = 2

3.14 × 10 = 31.4

31.4 ÷ 2 = 15.7

比如 0.25 ÷ 0.5：

0.5 × 10 = 5

0.25 × 10 = 2.5

2.5 ÷ 5 = 0.5

规则：

1. 把除数的小数点向右移动，变成整数

2. 被除数的小数点也向右移动同样的位数

3. 按除数是整数的方法计算

6.10 小数的近似数

生活中很多时候不需要精确的小数，取个近似数就够了。

比如 π = 3.1415926535……，但通常我们只说 3.14 或 3.1416。

取近似数有两种方法：

方法一：四舍五入

看要保留的下一位，如果≥5就进1，如果<5就舍去。

保留两位小数：

· 3.14159 → 看第三位是 1 < 5 → 3.14

· 3.14559 → 看第三位是 5 ≥ 5 → 3.15

· 3.14959 → 看第三位是 9 ≥ 5 → 3.15

保留一位小数：

· 3.14159 → 看第二位是 4 < 5 → 3.1

· 3.15159 → 看第二位是 5 ≥ 5 → 3.2

方法二：保留有效数字

这在科学计算中常用，比如保留 3 位有效数字：

· 3.14159 → 3.14（3 位有效数字：3、1、4）

· 0.0314159 → 0.0314（3 位有效数字：3、1、4，前面的 0 不算）

· 1000.3 → 1000（4 位有效数字，如果保留 3 位就是 1.00×10³）

有效数字的概念稍微复杂一点，初学阶段掌握四舍五入就够了。

6.11 分数和小数，哪个更好？

你可能想问：分数和小数都能表示“不是整数的数”，那到底用哪个好？

答案是：各有各的好处。

小数的好处：

· 直观，一看就知道大概多大

· 比较大小容易

· 计算器、电脑都用小数

· 表示测量结果方便（身高 1.75 米比 1 又 3/4 米更常用）

分数的好处：

· 精确，\frac{1}{3} 就是 \frac{1}{3}，小数只能近似成 0.3333

· 乘除法有时更简单，\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}，用小数要绕一圈

· 表示比例、概率时更自然

所以数学里两者都会用，你要学会在两者之间自由转换。

6.12 数轴上的小数

小数在数轴上同样能找到位置。

比如 0.5 就是 \frac{1}{2}，在 0 和 1 正中间。

0.25 就是 \frac{1}{4}，在 0 和 0.5 正中间。

0.75 就是 \frac{3}{4}，在 0.5 和 1 正中间。

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

```

有了小数，数轴上的点就更精细了。

而且小数有一个分数没有的好处：它可以直接表示无理数的近似值。

比如 \sqrt{2} \approx 1.41421356，这个数不能用分数精确表示，但可以用小数无限逼近它。

这就引出了下一章要讲的内容：数还不够，无理数的出现。

6.13 这一章的核心

1. 小数的本质是分母为 10、100、1000……的分数。

2. 小数数位：十分位、百分位、千分位……分别表示 0.1、0.01、0.001……

3. 分数化小数：分子除以分母。分母只含 2 和 5 的分数能化成有限小数，否则化成循环小数。

4. 小数化分数：有限小数直接写成分母是 10ⁿ 的分数再约分；循环小数用 9 做分母。

5. 小数比较：先比整数部分，再从左到右比小数部分。

6. 小数加减法：小数点对齐。

7. 小数乘法：先乘，再数小数位数点小数点。

8. 小数除法：除数是小数时，先移动小数点变成整数，被除数同步移动。

9. 四舍五入：看要保留的下一位，≥5 进 1，<5 舍去。

动手试试

1. 分数化小数

把下面分数化成小数（能有限就写有限，循环就写循环）：

· \frac{3}{5}

· \frac{7}{8}

· \frac{2}{9}

· \frac{5}{6}

· \frac{3}{11}

2. 小数化分数

把下面小数化成分数并约分：

· 0.4

· 0.35

· 0.125

· 0.375

· 0.84

· 1.25

· 2.75

3. 小数比较大小

在下面每组数中，哪个更大？

· 0.5 和 0.49

· 0.33 和 0.333

· 3.14 和 3.139

· -0.5 和 -0.6

· -1.2 和 -1.19

4. 小数加减法

计算：

· 3.5 + 2.7

· 5.8 + 4.23

· 7.2 - 3.8

· 10.5 - 6.78

· 4.3 + 5.67 - 2.8

5. 小数乘法

计算：

· 0.4 × 0.6

· 1.2 × 3.5

· 2.5 × 0.4

· 0.25 × 0.8

· 3.14 × 2.5

6. 小数除法

计算：

· 4.8 ÷ 2

· 6.3 ÷ 0.3

· 7.5 ÷ 0.5

· 0.36 ÷ 0.6

· 1.44 ÷ 1.2

7. 四舍五入

把下面小数保留两位小数：

· 3.14159

· 2.71828

· 0.33333

· 1.66666

· 4.9999

8. 思考题

为什么 0.9999……（无限循环）等于 1？你能证明吗？

---

第7章 数还不够，无理数是怎么来的

7.1 一个颠覆认知的事实

到现在为止，我们认识了三种数：

· 自然数：1、2、3、4……

· 负数：-1、-2、-3……

· 分数（包括小数）：\frac{1}{2}、0.5、\frac{3}{4}、0.75……

把这些数合起来，数学家给它们起了个名字叫有理数。

什么叫有理数？就是可以写成两个整数之比的数。

· 整数 5 可以写成 \frac{5}{1}

· 负数 -3 可以写成 \frac{-3}{1}

· 分数 \frac{2}{3} 本身就是两个整数的比

· 小数 0.75 可以写成 \frac{3}{4}

所以有理数包括：整数、分数、有限小数、无限循环小数。

你可能觉得：有了有理数，数轴上应该填满了吧？任何一个点，总可以用有理数表示吧？

答案是：不能。

这是一个颠覆认知的事实：数轴上有些点，不是有理数。

存在一些数，不能写成两个整数的比。它们不是分数，不是循环小数，它们是“不讲道理”的数，所以叫无理数。

7.2 第一个无理数：√2

历史上第一个被发现的无理数是 \sqrt{2}（读作“根号2”）。

故事是这样的：古希腊有一个学派叫毕达哥拉斯学派，他们信奉“万物皆数”，认为世界上的一切都可以用整数或者整数之比来表示。

但是他们的一个成员发现了一个问题：

一个边长为1的正方形，对角线有多长？

根据勾股定理（后面会讲），直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方。

所以对角线长度 d 满足：

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2

d = \sqrt{2}

这个 \sqrt{2} 是多少？

有人试图用分数来表示它：

· 1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}，但 1.4² = 1.96，不够

· 1.41 = \frac{141}{100}，但 1.41² = 1.9881，还是不够

· 1.414 = \frac{1414}{1000} = \frac{707}{500}，1.414² = 1.999396，接近但不到

· 1.4142 = \frac{14142}{10000} = \frac{7071}{5000}，1.4142² = 1.99996164，仍然不到

无论你怎么试，永远找不到一个分数，它的平方正好等于2。

你只能无限接近：1.41421356……，但这个小数既不终止，也不循环。

后来这个学派的人证明了：\sqrt{2} 不能写成两个整数的比。它是个无理数。

传说发现这个事实的人被扔到海里淹死了，因为他们的“万物皆数”信仰崩塌了。这是题外话，但足以说明这个发现对当时的人有多震撼。

7.3 什么是根号

刚才我们用了 \sqrt{2} 这个符号，需要解释一下。

根号，符号是 \sqrt{\phantom{x}}，用来表示“平方根”。

什么叫平方根？就是哪个数自己乘以自己，等于这个数。

比如：

· 因为 3² = 9，所以 9 的平方根是 3

· 因为 4² = 16，所以 16 的平方根是 4

· 因为 5² = 25，所以 25 的平方根是 5

但 2 呢？哪个数自己乘以自己等于 2？

没有整数，没有分数。所以我们就造了一个符号 \sqrt{2}，专门表示“那个自己乘以自己等于2的数”。

同样：

· \sqrt{3} 表示自己乘以自己等于3的数（约1.732）

· \sqrt{5} 表示自己乘以自己等于5的数（约2.236）

· \sqrt{10} 表示自己乘以自己等于10的数（约3.162）

这些数，除了少数几个（比如 \sqrt{4}=2、\sqrt{9}=3、\sqrt{16}=4 等）是整数，其他的都是无理数。

7.4 还有哪些无理数

除了平方根，还有很多无理数。

第一类：开方开不尽的数

比如 \sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5}、\sqrt{6}、\sqrt{7}、\sqrt{8}、\sqrt{10}……

注意 \sqrt{4}=2 是有理数，\sqrt{9}=3 是有理数。只有开方开不尽的才是无理数。

同样，\sqrt[3]{2}（2的立方根）、\sqrt[3]{3} 等也是无理数。

第二类：π

π 是圆周率，表示圆的周长和直径的比。

π ≈ 3.14159265358979323846……

这个数也是无理数，而且比 \sqrt{2} 更“无理”，它不能用根号表示，是一个超越数（数学术语，不用记）。

第三类：e

e 是自然对数的底数，约等于 2.71828，也是无理数、超越数。在高等数学中非常重要。

第四类：某些三角函数值

比如 sin 1°、cos 20° 等，很多也是无理数。

第五类：对数

比如 log₂3、ln2 等，也是无理数。

无理数比有理数多得多。数轴上大部分点都是无理数，有理数反而只是稀疏分布的点。

7.5 无理数的小数形式

无理数写成小数有什么特点？

无限不循环小数。

有理数要么是有限小数（如 0.5），要么是无限循环小数（如 0.3333……）。

但无理数的小数：

· 无限（永远写不完）

· 不循环（没有重复的规律）

比如 \sqrt{2} = 1.4142135623730950488…… 你永远找不到一个重复的循环节。

比如 π = 3.14159265358979323846…… 同样没有循环节。

据说 π 的小数点后已经被计算到几十万亿位，仍然没有发现循环。

7.6 有理数和无理数合起来：实数

把有理数和无理数合在一起，就得到了实数。

实数的定义很简单：数轴上所有的点，对应的数就是实数。

· 实数 = 有理数 + 无理数

· 有理数 = 整数 + 分数（有限小数 + 无限循环小数）

· 无理数 = 无限不循环小数

现在数轴终于完整了：

```

，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，|，

-√5 -2 -√2 -1 0 1/2 1 √2 2 π 4 5 6 7 8

```

每一个点都有一个实数对应。没有任何空隙。

7.7 实数的大小比较

实数比较大小，和有理数一样：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

比如 \sqrt{2} \approx 1.414，π ≈ 3.14，所以 \sqrt{2} < π。

比如 -\sqrt{2} \approx -1.414，-2 在它左边，所以 -\sqrt{2} > -2。

如果要精确比较两个无理数的大小，有时候需要用到一些技巧，比如平方后再比较。

比如比较 \sqrt{5} 和 2.2：

· 平方：(\sqrt{5})^2 = 5，2.2^2 = 4.84

· 5 > 4.84，所以 \sqrt{5} > 2.2

7.8 实数的运算

实数的加减乘除，和有理数的运算法则完全一样。

比如 \sqrt{2} + \sqrt{3} 就是 \sqrt{2} + \sqrt{3}，不能合并，因为不是同类项（就像 2a + 3b 不能合并一样）。

但有些可以简化：

· 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}（就像 3x + 5x = 8x）

· \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}

· \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}

这些是代数的内容，后面会详细讲。

7.9 这一章的核心

1. 有理数是能写成两个整数之比的数，包括整数、分数、有限小数、无限循环小数。

2. 无理数是不能写成两个整数之比的数，是无限不循环小数。

3. √2 是第一个被发现的无理数，它表示平方等于2的那个数。

4. 常见的无理数：开方开不尽的根号（如√3、√5）、π、e 等。

5. 有理数和无理数合起来叫实数，填满了整个数轴。

动手试试

1. 判断有理数还是无理数

下面哪些是有理数，哪些是无理数？

· √4

· √7

· 0.33333……

· 0.1010010001……（每多一个0）

· π

· 3.14

· \frac{22}{7}

2. 比较大小

用平方的方法比较：

· √3 和 1.7

· √5 和 2.2

· √10 和 3.1

3. 用数轴表示

在数轴上标出大概位置：

· √2

· √3

· -√2

· π

4. 计算

（保留根号形式，不用化简成小数）

· √2 + √2

· 3√3 + 2√3

· √2 × √5

· √12（提示：12=4×3）

5. 思考题

为什么说“无理数比有理数多得多”？你能想象“无限不循环”是什么意思吗？

---

第二部分预告：从第二章开始，我们要进入运算的世界，加减乘除到底是怎么回事

第二部分：加减乘除，数的运算

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第8章 加法：把东西合在一起

8.1 从生活里来的加法

我们先从一个最简单的问题开始：

什么是加法？

你可能觉得这个问题很傻，加法不就是把两个数加起来吗？1+1=2，谁不知道？

但我想请你认真想想：加法到底在做什么？

来看几个生活中的例子：

例子一：数苹果

你手里有3个苹果，妈妈又给你2个，你现在有几个？

3个和2个放在一起，数一数：1、2、3、4、5，一共5个。

这就是加法：3 + 2 = 5。

例子二：走路的距离

你先往东走了4公里，又往东走了3公里，一共走了多远？

4公里和3公里接起来，一共7公里。

这就是加法：4 + 3 = 7。

例子三：存钱

你存了50块钱，奶奶又给了你30块钱，你现在有多少钱？

50块和30块放在一起，一共80块。

这就是加法：50 + 30 = 80。

你发现没有，这三个例子有一个共同点：把两样东西合并在一起，求总数。

这就是加法的本质：加法就是合并。

8.2 加法的两种含义

仔细看上面的例子，其实加法有两种不同的用法：

第一种用法：增加

比如你本来有3个苹果，妈妈又给你2个，你的苹果变多了。

这是“在原有的基础上增加”，从3变成5，增加了2。

第二种用法：合并

比如你左边口袋有4颗糖，右边口袋有3颗糖，一共有多少颗？

这不是“增加”，而是把两个分开的部分合起来，求总和。

这两种用法看起来不一样，但在数学上是一回事：都是把两个量放在一起，得到一个总量。

所以数学家不去区分它们，统一叫加法。

8.3 加法在数轴上怎么看

还记得数轴吗？我们在第3章学过，数轴是一条有方向的线，右边越来越大，左边越来越小。

在数轴上，加法就是向右移动。

比如 3 + 2：

1. 先找到 3 的位置

2. 向右走 2 步

3. 落在 5 上

所以 3 + 2 = 5。

比如 2 + 4：

1. 找到 2

2. 向右走 4 步

3. 落在 6 上

比如 0 + 5：

1. 找到 0

2. 向右走 5 步

3. 落在 5 上

有了负数之后，加法就不仅仅是向右了：

比如 3 + (-2)：

1. 找到 3

2. 加负数，就是向左走 2 步

3. 落在 1 上

比如 (-3) + 5：

1. 找到 -3

2. 向右走 5 步

3. 落在 2 上

比如 (-2) + (-3)：

1. 找到 -2

2. 向左走 3 步

3. 落在 -5 上

所以完整的说法是：加法就是在数轴上移动，加正数向右，加负数向左。

8.4 加法的两个重要性质

加法有两个非常重要的性质，贯穿整个数学。

性质一：交换律，顺序不影响结果

什么叫交换律？就是交换两个数的位置，和不变。

比如 3 + 5 = 8，5 + 3 = 8。

比如 2 + 7 = 9，7 + 2 = 9。

比如 (-3) + 8 = 5，8 + (-3) = 5。

用字母表示就是：

a + b = b + a

这个性质看起来很简单，但非常重要。它告诉我们：做加法时，谁先谁后无所谓。

性质二：结合律，括号怎么放都行

什么叫结合律？就是三个数相加，先把前两个加，或者先把后两个加，结果一样。

比如 (3 + 5) + 2 = 8 + 2 = 10

3 + (5 + 2) = 3 + 7 = 10

比如 (2 + 4) + 6 = 6 + 6 = 12

2 + (4 + 6) = 2 + 10 = 12

用字母表示：

(a + b) + c = a + (b + c)

结合律告诉我们：做加法时，加法的顺序可以任意组合，不影响结果。

有了交换律和结合律，我们可以自由地重新排列加法算式，怎么方便怎么算。

比如 3 + 7 + 5 + 3，你可以把 3+7=10，5+3=8，然后 10+8=18。也可以把 3+3=6，7+5=12，然后 6+12=18。怎么算都行。

8.5 加法中的0

0在加法中很特别。

任何数加0，等于它本身。

比如 5 + 0 = 5

0 + 8 = 8

(-3) + 0 = -3

0 + 0 = 0

用字母表示：

a + 0 = a

0 + a = a

所以0叫做加法的单位元，它不改变任何数。

8.6 加法表需要背吗？

小时候我们都背过加法表：1+1=2，1+2=3，1+3=4……

但真正重要的不是背，而是理解加法的本质是计数。

比如 7 + 5，如果你不记得等于多少，你可以从7往后数5个数：

7、8、9、10、11、12，所以 7+5=12。

当然，小一点的数最好能记住，这样算得快。但如果忘了，可以用数数的方法推出来。

8.7 多位数的加法

多位数加法，比如 34 + 58，怎么算？

方法：相同数位对齐，从个位加起，满十进一。

```

34

+ 58

，

```

第一步：个位相加

4 + 8 = 12

个位写2，向十位进1

```

3 4

+ 5 8

，

2

1 （进位）

```

第二步：十位相加

3 + 5 = 8，再加上进位的1，等于9

十位写9

```

3 4

+ 5 8

，

9 2

```

所以 34 + 58 = 92。

为什么“满十进一”？因为十位上的1代表10，个位上的10就是十位上的1。这是由十进制决定的，我们用的数制是十进制，满十就向前一位进一。

8.8 小数的加法

小数的加法，我们上一章讲过：小数点对齐。

比如 3.5 + 2.78：

```

3.50

+ 2.78

，

6.28

```

把3.5写成3.50，这样百分位就能对齐了。

8.9 分数的加法

分数的加法，我们第5章讲过：先通分，再分子相加，分母不变。

比如 \frac{1}{2} + \frac{1}{3}：

通分：\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

比如 \frac{2}{3} + \frac{3}{4}：

通分：\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}

8.10 加法的逆运算是什么？

加法的逆运算是减法。

什么叫逆运算？就是做完加法，可以用减法回到原来的数。

比如 3 + 5 = 8，那么 8 - 5 = 3，8 - 3 = 5。

加法是“合起来”，减法是“分开”或者“拿走”。它们是相反的操作。

下一章我们就专门讲减法。

8.11 这一章的核心

1. 加法的本质是合并，把两个量合在一起得到总量。

2. 在数轴上，加法就是移动，加正数向右，加负数向左。

3. 加法交换律：a + b = b + a（顺序不影响结果）

4. 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)（括号怎么放都行）

5. 0是加法的单位元：任何数加0等于它本身。

6. 多位数加法：相同数位对齐，从个位加起，满十进一。

7. 小数加法：小数点对齐。

8. 分数加法：先通分，再加分子。

动手试试

1. 用数轴做加法

在脑子里（或者画出来）用数轴计算：

· 4 + 3

· 2 + 5

· 6 + (-2)

· (-3) + 7

· (-4) + (-2)

2. 加法交换律

验证下面哪些等式成立：

· 8 + 3 = 3 + 8

· 15 + 7 = 7 + 15

· (-5) + 9 = 9 + (-5)

· (-3) + (-7) = (-7) + (-3)

3. 加法结合律

用两种顺序计算：

· 3 + 5 + 7

· 2 + 8 + 4

· 6 + 3 + 9

· 10 + 20 + 30

4. 多位数加法

计算：

· 47 + 38

· 125 + 276

· 345 + 678

· 1234 + 5678

5. 小数加法

计算：

· 3.5 + 4.2

· 6.7 + 2.38

· 5.43 + 3.7

· 12.5 + 8.75

6. 分数加法

计算（结果保留分数形式）：

· \frac{1}{3} + \frac{1}{4}

· \frac{2}{5} + \frac{3}{10}

· \frac{3}{8} + \frac{1}{2}

· \frac{5}{6} + \frac{2}{3}

7. 思考题

为什么“满十进一”？如果是“满五进一”，数字会怎么表示？

---

下一章预告：减法，加法的逆运算

第9章 减法：加法的逆运算

9.1 从生活里来的减法

和加法一样，我们先从一个简单的问题开始：

什么是减法？

来看几个生活中的例子：

例子一：吃掉苹果

你有5个苹果，吃了2个，还剩几个？

5个去掉2个，数一数剩下的：1、2、3，还剩3个。

这就是减法：5 - 2 = 3。

例子二：走回头路

你往东走了7公里，然后往回（西）走了3公里，现在离起点多远？

7公里减去往回走的3公里，还剩4公里。

这就是减法：7 - 3 = 4。

例子三：比较多少

你有8块钱，我有5块钱，你比我多几块？

8块减去5块，多3块。

这就是减法：8 - 5 = 3。

你发现没有，这三个例子有三个不同的意思：

· 例子一是“拿走”（吃了）

· 例子二是“退回”（往回走）

· 例子三是“比较”（多多少）

但数学上，它们都用同一个运算：减法。

9.2 减法的本质：加法的逆运算

其实，减法的本质可以用一句话说清楚：

减法是加法的逆运算。

什么叫逆运算？就是反过来做。

加法是：已知两个数，求它们的和。

减法是：已知和与其中一个数，求另一个数。

比如 3 + 5 = 8，那么：

· 8 - 3 = 5（知道和是8，知道其中一个数是3，求另一个数）

· 8 - 5 = 3（知道和是8，知道其中一个数是5，求另一个数）

所以减法就是加法的逆运算。

9.3 减法在数轴上怎么看

在数轴上，加法是向右移动（加正数）或向左移动（加负数）。

那减法呢？

减法是加法的逆运算，所以在数轴上，减法就是反过来移动，减正数向左，减负数向右。

来看几个例子：

例1：5 - 3

1. 找到5的位置

2. 减正数3，就是向左走3步

3. 经过4、3、2，落在2上

所以 5 - 3 = 2

例2：7 - 2

1. 找到7

2. 向左走2步

3. 落在5上

所以 7 - 2 = 5

例3：4 - 6

1. 找到4

2. 向左走6步

3. 经过3、2、1、0、-1、-2，落在-2上

所以 4 - 6 = -2

例4：(-3) - 2

1. 找到-3

2. 向左走2步

3. 落在-5上

所以 (-3) - 2 = -5

例5：2 - (-3)

1. 找到2

2. 减负数，就是向右走3步（因为减去向左就是向右）

3. 落在5上

所以 2 - (-3) = 5

例6：(-4) - (-2)

1. 找到-4

2. 减负数，就是向右走2步

3. 落在-2上

所以 (-4) - (-2) = -2

总结一下规律：

式子 数轴上的移动

a - b（b>0） 向左走b步

a - b（b<0） 向右走

9.4 减法的另一种理解：加上相反数

上一章我们学过，减去一个数，等于加上这个数的相反数。

什么叫相反数？就是符号相反、数字相同的数：

· 3的相反数是-3

· -5的相反数是5

· 0的相反数是0

所以：

· 5 - 3 = 5 + (-3) = 2

· 5 - (-3) = 5 + 3 = 8

· (-5) - 3 = (-5) + (-3) = -8

· (-5) - (-3) = (-5) + 3 = -2

这个规律很重要，因为把减法变成加法后，就可以用加法的交换律和结合律了。

比如 5 - 3 + 2 - 4，可以看成 5 + (-3) + 2 + (-4)，然后随便怎么加都行。

9.5 减法的性质

减法有没有交换律？有没有结合律？

减法没有交换律。

比如 5 - 3 = 2，但 3 - 5 = -2，结果不一样。所以 a - b ≠ b - a。

减法也没有结合律。

比如 (8 - 3) - 2 = 5 - 2 = 3

8 - (3 - 2) = 8 - 1 = 7

结果不一样。所以 (a - b) - c ≠ a - (b - c)。

这就是为什么我们通常把减法转化成加法来做，加法有交换律和结合律，可以随意调整顺序，但减法没有。

9.6 多位数的减法

多位数减法，比如 74 - 38，怎么算？

方法：相同数位对齐，从个位减起，不够减就向前一位借1当10。

```

74

- 38

，

```

第一步：个位相减

4 - 8 不够减，怎么办？

从十位借1当10，7借走1变成6，4变成14

14 - 8 = 6

个位写6

```

6 14

- 3 8

，

6

```

第二步：十位相减

6 - 3 = 3

十位写3

```

6 14

- 3 8

，

3 6

```

所以 74 - 38 = 36。

再举个例子：503 - 267

```

5 0 3

- 2 6 7

，—

```

个位：3 - 7 不够，向十位借，但十位是0，没法借。所以要先向百位借。

从百位借1，百位5变成4，十位0变成10（借来的1个百是10个十）

十位现在有10，再借1给个位，十位10变成9，个位3变成13

现在：

百位：4

十位：9

个位：13

个位：13 - 7 = 6

十位：9 - 6 = 3

百位：4 - 2 = 2

所以 503 - 267 = 236

这个过程叫退位减法，关键是“借1当10”。

9.7 小数的减法

小数的减法，和小数加法一样：小数点对齐。

比如 7.2 - 3.58：

```

7.20

- 3.58

，

3.62

```

把7.2写成7.20，这样百分位对齐。

个位：7 - 3 = 4？等等，要先从百分位开始。

从右往左算：

百分位：0 - 8 不够，向十分位借，十分位2变成1，百分位0变成10

10 - 8 = 2

十分位：1 - 5 不够，向个位借，个位7变成6，十分位1变成11

11 - 5 = 6

个位：6 - 3 = 3

所以结果是 3.62。

9.8 分数的减法

分数的减法，和分数加法一样：先通分，再分子相减，分母不变。

比如 \frac{3}{4} - \frac{1}{3}：

通分：\frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}

比如 \frac{5}{6} - \frac{2}{3}：

通分：\frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}

比如 \frac{7}{8} - \frac{3}{4}：

通分：\frac{7}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8}

如果被减数小于减数，结果就是负数，比如 \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}。

9.9 减法的应用：求差

减法最常用的一个应用是求差，求两个数的差。

比如：小明考了85分，小红考了92分，小红比小明多几分？

92 - 85 = 7（分）

比如：今天气温5度，昨天是-3度，今天比昨天高几度？

5 - (-3) = 5 + 3 = 8（度）

比如：A地海拔100米，B地海拔-50米，A比B高多少？

100 - (-50) = 100 + 50 = 150（米）

求差的时候，注意顺序：谁比谁多，就用谁减去谁。

9.10 减法的应用：求剩余

减法的另一个常见应用是求剩余。

比如：你有100块钱，花了35块，还剩多少？

100 - 35 = 65（块）

比如：一根绳子长2.5米，剪掉0.8米，还剩多少？

2.5 - 0.8 = 1.7（米）

比如：一箱苹果有30个，吃了\frac{1}{3}，还剩多少个？

先算吃了多少：30 × \frac{1}{3} = 10（个）

再算剩余：30 - 10 = 20（个）

9.11 减法的应用：求补数

有时候我们需要知道“还差多少”。

比如：买一个东西要120元，你只有85元，还差多少？

120 - 85 = 35（元）

比如：从家到学校有1.5公里，你已经走了0.8公里，还要走多远？

1.5 - 0.8 = 0.7（公里）

这种问题，还是求差，但问法不同。

9.12 这一章的核心

1. 减法的本质是加法的逆运算，知道和与一个加数，求另一个加数。

2. 在数轴上，减正数向左移动，减负数向右移动。

3. 减去一个数等于加上这个数的相反数：a - b = a + (-b)。

4. 减法没有交换律和结合律，但转化成加法后就可以用了。

5. 多位数减法：相同数位对齐，从个位减起，不够减就向前一位借1当10。

6. 小数减法：小数点对齐。

7. 分数减法：先通分，再分子相减，分母不变。

8. 减法的常见应用：求差、求剩余、求补数。

动手试试

1. 用数轴做减法

在脑子里（或者画出来）用数轴计算：

· 8 - 3

· 6 - 5

· 4 - 7

· (-2) - 3

· 5 - (-2)

· (-3) - (-5)

2. 减法变加法

把下面的减法变成加法计算：

· 9 - 4

· 7 - 9

· 5 - (-3)

· (-6) - 2

· (-4) - (-7)

· 0 - 8

3. 多位数的减法

计算：

· 85 - 37

· 124 - 68

· 305 - 178

· 600 - 245

· 1000 - 567

4. 小数的减法

计算：

· 8.5 - 3.2

· 7.3 - 4.8

· 12.6 - 5.34

· 20 - 7.85

· 5.03 - 2.7

5. 分数的减法

计算：

· \frac{3}{4} - \frac{1}{4}

· \frac{5}{6} - \frac{1}{3}

· \frac{7}{8} - \frac{3}{4}

· \frac{2}{3} - \frac{1}{2}

· \frac{5}{8} - \frac{3}{5}

6. 应用题

· 小明有50元，买书花了28.5元，还剩多少？

· 今天最高气温8度，最低气温-2度，温差多少？

· 一根绳子长3.6米，剪掉1.8米，还剩多少？

· 小红考了92分，比小明高5分，小明考了多少分？

· 从A到B有125公里，已经开了87公里，还要开多少公里？

7. 思考题

为什么减法没有交换律？能举一个生活中的例子说明吗？

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下一章预告：乘法，加法的简便运算

第10章 乘法：加法的简便运算

10.1 从生活里来的乘法

先来看一个问题：

你走进一家商店，看到一盒巧克力有3排，每排有4块。你想知道这一盒一共有多少块巧克力。

你怎么算？

你可以一块一块数：1、2、3、4……一共12块。

你也可以一排一排加：4 + 4 + 4 = 12。

你还可以一列一列加：3 + 3 + 3 + 3 = 12。

不管你用什么方法，结果都是12。

但如果一盒巧克力有10排，每排20块呢？你还用加法慢慢加吗？10排，每排20块，就是20 + 20 + 20 + ……要加10次，太麻烦了。

这时候就需要乘法：10 × 20 = 200，一下子就出来了。

所以乘法的本质是什么？

乘法是加法的简便运算，求几个相同加数的和。

10.2 乘法的两种含义

和加法一样，乘法也有两种不同的理解方式：

第一种理解：重复相加

这是最直接的理解。3 × 4 就是 4 + 4 + 4，也就是“3个4相加”。

比如一盒巧克力有3排，每排4块，就是3 × 4 = 12。

第二种理解：倍数

小明有5块钱，小红的钱是小明的3倍，小红有多少钱？

5 × 3 = 15，小红有15块。

这里的3倍，就是“3个5”的意思，其实还是重复相加，5 + 5 + 5 = 15。

所以这两种理解本质是一样的。

10.3 乘法在生活中的例子

乘法无处不在：

例子一：买东西

一个苹果2块钱，买5个要多少钱？

2 × 5 = 10（元）

例子二：算面积

一个长方形长6米，宽4米，面积多大？

6 × 4 = 24（平方米）

例子三：算工钱

你打工每小时赚15元，工作8小时，赚多少钱？

15 × 8 = 120（元）

例子四：算路程

你骑车每小时行12公里，骑了3小时，走了多远？

12 × 3 = 36（公里）

例子五：算总量

一箱矿泉水有24瓶，有5箱，一共有多少瓶？

24 × 5 = 120（瓶）

你发现没有，这些例子都有一个共同点：每份数 × 份数 = 总数。

这是乘法的基本模型：

· 每份2元，有5份 → 总价10元

· 每份6米，有4份 → 面积24平方米

· 每份15元，有8份 → 总收入120元

· 每份12公里，有3份 → 总路程36公里

记住这个模型，以后遇到应用题就容易了。

10.4 乘法在数轴上怎么看

在数轴上，加法是每次走1步，走若干步。

乘法呢？乘法是每次走相同的步长，走若干次。

比如 3 × 4，可以理解为：从0开始，每次向右跳4格，跳3次：

· 第1跳：0 → 4

· 第2跳：4 → 8

· 第3跳：8 → 12

落在12上。

所以 3 × 4 = 12。

如果有一个因数是负数呢？

比如 3 × (-4)：

从0开始，每次向左跳4格（因为-4是向左），跳3次：

· 第1跳：0 → -4

· 第2跳：-4 → -8

· 第3跳：-8 → -12

落在-12上。

比如 (-3) × 4：

从0开始，每次向右跳4格，但方向是反的（因为乘的是负数），所以要向左跳？

等等，这里要小心。

负数的乘法，用数轴解释有点绕。最简单的办法是记住我们之前学过的规律：同号得正，异号得负。

· 正 × 正 = 正

· 正 × 负 = 负

· 负 × 正 = 负

· 负 × 负 = 正

这个规律一定要记牢。

10.5 乘法的两个重要性质

乘法和加法一样，也有交换律和结合律。

性质一：乘法交换律，顺序不影响结果

3 × 5 = 15，5 × 3 = 15。

4 × 7 = 28，7 × 4 = 28。

(-2) × 6 = -12，6 × (-2) = -12。

用字母表示：

a \times b = b \times a

这个性质告诉我们：做乘法时，谁先谁后无所谓。

性质二：乘法结合律，括号怎么放都行

(3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60

3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60

(2 × 5) × 6 = 10 × 6 = 60

2 × (5 × 6) = 2 × 30 = 60

用字母表示：

(a \times b) \times c = a \times (b \times c)

结合律告诉我们：做乘法时，乘的顺序可以任意组合，不影响结果。

性质三：乘法分配律，乘法的秘密武器

这是乘法最重要的性质，连接了加法和乘法：

a \times (b + c) = a \times b + a \times c

什么意思？看个例子：

3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27

3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27

结果一样。

再比如 5 × (2 + 8) = 5 × 10 = 50

5 × 2 + 5 × 8 = 10 + 40 = 50

这个性质有什么用？它可以把一个复杂的乘法拆成几个简单的乘法，或者反过来把几个乘法合并成一个。

比如 7 × 99，直接算有点麻烦。但 99 = 100 - 1，所以：

7 × 99 = 7 × (100 - 1) = 7 × 100 - 7 × 1 = 700 - 7 = 693

这就是分配律的妙用。

分配律也适用于减法：

a \times (b - c) = a \times b - a \times c

比如 8 × 97 = 8 × (100 - 3) = 8 × 100 - 8 × 3 = 800 - 24 = 776。

10.6 乘法中的特殊数：0和1

和加法一样，乘法里也有两个特殊数。

1是乘法的单位元

任何数乘以1，等于它本身：

5 × 1 = 5

1 × 8 = 8

(-3) × 1 = -3

0 × 1 = 0

0是乘法的零元

任何数乘以0，等于0：

5 × 0 = 0

0 × 8 = 0

(-3) × 0 = 0

0 × 0 = 0

这个很重要：0乘任何数都得0。

10.7 为什么0不能做除数

你可能早就听说过：0不能做除数。

但为什么？

我们来想一下：除法是乘法的逆运算。如果 a ÷ 0 = b，那就意味着 b × 0 = a。

但是 b × 0 = 0 永远成立（任何数乘0都得0）。

所以：

· 如果 a ≠ 0，那么 b × 0 = a 不可能成立，因为没有数乘0能得到非0的数。

· 如果 a = 0，那么 0 ÷ 0 可以是任何数，因为任何数乘0都得0，结果不确定。

所以，要么无解（a≠0），要么无数解（a=0）。这两种情况都不符合我们对运算的要求，我们希望每个算式有唯一确定的答案。

因此，数学上规定：0不能做除数。

10.8 乘法表：真的需要背吗？

我们小时候都背过九九乘法表：一一得一，一二得二，一三得三……一直到九九八十一。

背乘法表有用吗？有用。因为乘法出现得太频繁了，如果每次都要从头加，太慢。

但比背更重要的是理解。比如 6 × 7 = 42，你可以用几种方法推出来：

· 6 × 7 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6

· 6 × 7 = 5 × 7 + 1 × 7 = 35 + 7 = 42

· 6 × 7 = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

· 6 × 7 = 7 × 6（交换律）

理解之后再去记，就不容易忘。

10.9 多位数的乘法

多位数乘法，比如 23 × 45，怎么算？

方法：竖式计算

```

23

× 45

，

115 (23 × 5)

92 (23 × 40，也就是23×4后面加个0)

，

1035

```

第一步：23 × 5

23 × 5 = 115

个位写5，十位进1，百位写1（其实就是115）

第二步：23 × 40

23 × 4 = 92，但这是乘以40，所以92后面要加个0，变成920

或者写的时候往左移一位：92写在十位开始的位置

第三步：相加

115 + 920 = 1035

再比如 124 × 36：

```

124

× 36

，—

744 (124 × 6)

372 (124 × 30，124×3=372，后面加个0)

，—

4464

```

规则：先用个位乘，再用十位乘（结果左移一位），再用百位乘（结果左移两位）……最后相加。

10.10 小数的乘法

小数乘法，我们第6章讲过：先当整数乘，再数小数点位数。

比如 3.2 × 1.5：

32 × 15 = 480

3.2有1位小数，1.5有1位小数，共2位小数

480 → 从右边数2位：4.80 → 去掉末尾0：4.8

所以 3.2 × 1.5 = 4.8

比如 0.25 × 0.4：

25 × 4 = 100

0.25有2位小数，0.4有1位小数，共3位小数

100 → 从右边数3位：0.100 → 去掉末尾0：0.1

所以 0.25 × 0.4 = 0.1

10.11 分数的乘法

分数乘法最简单：分子乘分子，分母乘分母。

比如 \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}

比如 \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}（要约分）

整数和分数相乘：把整数看成 \frac{整数}{1}。

比如 3 \times \frac{2}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}

10.12 乘法的逆运算是什么？

乘法的逆运算是除法。

和加法与减法的关系一样：

· 乘法是已知两个因数求积

· 除法是已知积与一个因数，求另一个因数

比如 3 × 5 = 15，那么：

· 15 ÷ 3 = 5

· 15 ÷ 5 = 3

下一章我们就专门讲除法。

10.13 这一章的核心

1. 乘法的本质是加法的简便运算，求几个相同加数的和。

2. 乘法交换律：a × b = b × a（顺序不影响结果）

3. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)（括号怎么放都行）

4. 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c（连接加法和乘法）

5. 1是乘法的单位元：任何数乘1等于它本身。

6. 0是乘法的零元：任何数乘0等于0。

7. 0不能做除数的原因：如果0做除数，要么无解，要么无数解。

8. 多位数乘法：竖式计算，分位相乘再相加。

9. 小数乘法：先当整数乘，再数小数点位数。

10. 分数乘法：分子乘分子，分母乘分母。

动手试试

1. 用数轴理解乘法

在脑子里用“跳格”的方法理解：

· 2 × 5

· 3 × 4

· 4 × (-2)

· (-3) × 3

2. 乘法交换律

验证下面哪些等式成立：

· 7 × 8 = 8 × 7

· 12 × 5 = 5 × 12

· (-4) × 9 = 9 × (-4)

· (-6) × (-3) = (-3) × (-6)

3. 乘法分配律

用分配律计算：

· 6 × 23（把23拆成20+3）

· 8 × 35

· 4 × 97（把97拆成100-3）

· 7 × 102

· 5 × 99

4. 多位数乘法

计算：

· 34 × 27

· 56 × 43

· 128 × 35

· 205 × 48

· 1234 × 56

5. 小数乘法

计算：

· 2.5 × 3.4

· 1.2 × 0.8

· 0.6 × 0.7

· 3.14 × 2.5

· 0.25 × 0.16

6. 分数乘法

计算（结果要约分）：

· \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}

· \frac{5}{6} \times \frac{2}{5}

· \frac{3}{8} \times \frac{4}{9}

· \frac{7}{10} \times \frac{5}{14}

· 2 \times \frac{3}{4}

7. 应用题

· 一个苹果2.5元，买8个要多少钱？

· 一个长方形长6.5米，宽4.2米，面积多少？

· 你每小时走5公里，走3.5小时，走了多远？

· 一箱牛奶24盒，有15箱，一共有多少盒？

· 一件衣服原价120元，打8折（乘以0.8），现价多少？

8. 思考题

为什么说乘法是加法的简便运算？你能举一个生活中用乘法比加法方便的例子吗？

---

下一章预告：除法，乘法的逆运算

第11章 除法：乘法的逆运算

11.1 从生活里来的除法

先来看几个生活中的问题：

问题一：分苹果

你有12个苹果，要平均分给4个朋友，每人分几个？

12 ÷ 4 = 3（每人3个）

问题二：求单价

你买了5本同样的书，一共花了45元，每本书多少钱？

45 ÷ 5 = 9（每本9元）

问题三：求份数

你有30块钱，每个面包6块钱，能买几个面包？

30 ÷ 6 = 5（能买5个）

问题四：求倍数

小明身高120厘米，小华身高60厘米，小明身高是小华的几倍？

120 ÷ 60 = 2（2倍）

你发现没有，这四个问题都在问不同的事情：

· 问题一是平均分（总数÷份数=每份数）

· 问题二是求单价（总价÷数量=单价）

· 问题三是求份数（总数÷每份数=份数）

· 问题四是求倍数（比较两个量）

但数学上，它们都用同一个运算：除法。

11.2 除法的本质：乘法的逆运算

和减法一样，除法的本质也可以用一句话说清楚：

除法是乘法的逆运算。

乘法是：已知两个因数，求它们的积。

除法是：已知积与其中一个因数，求另一个因数。

比如 3 × 5 = 15，那么：

· 15 ÷ 3 = 5（知道积是15，知道一个因数是3，求另一个因数）

· 15 ÷ 5 = 3（知道积是15，知道一个因数是5，求另一个因数）

所以除法就是乘法的逆运算。

11.3 除法的两种理解

从上面的例子可以看出，除法有两种不同的理解方式：

第一种理解：平均分

把总数平均分成若干份，求每份是多少。

比如 12 ÷ 4 = 3，意思是：把12平均分成4份，每份是3。

这种理解对应的是：总数 ÷ 份数 = 每份数

第二种理解：包含除

总数里包含几个每份数，求份数。

比如 12 ÷ 3 = 4，意思是：12里面包含几个3？答案是4个。

这种理解对应的是：总数 ÷ 每份数 = 份数

这两种理解都很重要，遇到不同的问题要用不同的理解方式。

11.4 除法在数轴上怎么看

在数轴上，除法可以看成是跳格子，但不是加法那种跳法，而是看能跳几次。

比如 12 ÷ 4 = 3，可以这样理解：

从0开始，每次向右跳4格，跳几次能到12？

第1跳：0→4

第2跳：4→8

第3跳：8→12

跳了3次，所以12 ÷ 4 = 3。

比如 15 ÷ 3 = 5：

从0开始，每次跳3格，跳5次到15。

比如 20 ÷ 5 = 4：

每次跳5格，跳4次到20。

如果除数是负数呢？

比如 (-12) ÷ 4：

从0开始，每次向左跳4格（因为结果是负的），跳几次能到-12？

第1跳：0→-4

第2跳：-4→-8

第3跳：-8→-12

跳了3次，所以 (-12) ÷ 4 = -3。

比如 12 ÷ (-4)：

从0开始，每次向左跳4格，跳几次能到12？

等等，这不可能，因为向左跳只能到负数，到不了正数12。

所以 12 ÷ (-4) 应该是多少？

用乘法的逆运算想：(-4) × ? = 12

(-4) × (-3) = 12，所以 12 ÷ (-4) = -3。

比如 (-12) ÷ (-4)：

(-4) × ? = -12

(-4) × 3 = -12，所以 (-12) ÷ (-4) = 3。

还是那个规律：同号得正，异号得负。

11.5 除法的符号表示

除法有几种写法：

第一种：÷ 符号

12 ÷ 4 = 3

这是最常用的写法。

第二种：分数形式

\frac{12}{4} = 3

分数其实就是除法。\frac{a}{b} 就是 a ÷ b。

第三种：/ 符号

12 / 4 = 3

电脑上常用这种写法。

这三种写法意思完全一样。

11.6 除法中的特殊数：1和0

和加减乘法一样，除法里也有特殊数。

除以1

任何数除以1，等于它本身：

5 ÷ 1 = 5

8 ÷ 1 = 8

(-3) ÷ 1 = -3

0 ÷ 1 = 0

除以本身

任何非0的数除以它本身，等于1：

5 ÷ 5 = 1

8 ÷ 8 = 1

(-3) ÷ (-3) = 1

0除以任何非0的数

0除以任何非0的数，等于0：

0 ÷ 5 = 0

0 ÷ 8 = 0

0 ÷ (-3) = 0

一个数除以0

这是不允许的。上一章我们说过：0不能做除数。

为什么？因为如果 a ÷ 0 = b，那就意味着 b × 0 = a。

但 b × 0 = 0 永远成立，所以：

· 如果 a ≠ 0，那么没有b能满足

· 如果 a = 0，那么任何b都能满足，结果不确定

所以数学上规定：0不能做除数。

11.7 除法有没有交换律和结合律

和减法一样，除法没有交换律，也没有结合律。

没有交换律：

12 ÷ 4 = 3，但 4 ÷ 12 = \frac{1}{3}，结果不一样。

所以 a ÷ b ≠ b ÷ a。

没有结合律：

(24 ÷ 6) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2

24 ÷ (6 ÷ 2) = 24 ÷ 3 = 8

结果不一样。

所以 (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)。

这就是为什么我们通常把除法转化成分数或者乘法来做，分数可以约分、通分，乘法有交换律结合律，但除法没有。

11.8 有余数的除法

不是所有的除法都能整除。比如 13 ÷ 4：

4 × 3 = 12，12比13小1，所以 13 ÷ 4 = 3 余 1。

这叫有余数的除法。

写法：13 ÷ 4 = 3……1

读作：13除以4等于3余1。

各部分名称：

· 13 叫被除数

· 4 叫除数

· 3 叫商

· 1 叫余数

重要关系：

被除数 = 除数 × 商 + 余数

13 = 4 × 3 + 1

而且余数一定要比除数小。如果余数比除数大，说明还可以继续除。

比如 17 ÷ 4，如果写成 17 ÷ 4 = 2 余 9，就是错的，因为9比4大，应该继续除，2余9其实是 2 + 9/4 = 2 + 2.25 = 4.25，实际上 17 ÷ 4 = 4 余 1。

11.9 多位数的除法

多位数除法，比如 156 ÷ 12，怎么算？

方法：竖式计算

```

13

12)156

12

，

36

36

，

0

```

第一步：看被除数的前几位

12除15（156的前两位），12×1=12，15-12=3，商1，余3

第二步：把下一位落下来

余3和下一位6组成36

第三步：12除36

12×3=36，36-36=0，商3

所以 156 ÷ 12 = 13。

再比如 345 ÷ 15：

```

23

15)345

30

，

45

45

，

0

```

15×2=30，34-30=4，落5成45，15×3=45，商23。

再比如 789 ÷ 23：

```

34

23)789

69

，

99

92

，

7

```

23×3=69，78-69=9，落9成99，23×4=92，99-92=7，余7。

所以 789 ÷ 23 = 34 余 7。

验证：23 × 34 + 7 = 782 + 7 = 789，正确。

11.10 小数的除法

小数的除法，我们第6章讲过：把除数变成整数，被除数同步移动小数点。

比如 6.3 ÷ 0.3：

0.3 × 10 = 3

6.3 × 10 = 63

63 ÷ 3 = 21

所以 6.3 ÷ 0.3 = 21。

比如 3.14 ÷ 0.2：

0.2 × 10 = 2

3.14 × 10 = 31.4

31.4 ÷ 2 = 15.7

比如 0.25 ÷ 0.5：

0.5 × 10 = 5

0.25 × 10 = 2.5

2.5 ÷ 5 = 0.5

如果除数和被除数都有多位小数，就同时移动小数点，直到除数变成整数。

比如 12.48 ÷ 0.24：

0.24 × 100 = 24

12.48 × 100 = 1248

1248 ÷ 24 = 52

所以 12.48 ÷ 0.24 = 52。

11.11 分数的除法

分数的除法，我们第5章讲过：除以一个分数等于乘以它的倒数。

什么叫倒数？就是分子分母交换位置：

· \frac{2}{3} 的倒数是 \frac{3}{2}

· 5 的倒数是 \frac{1}{5}

· \frac{1}{4} 的倒数是 4

所以：

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

比如 \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

比如 \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}

比如 3 \div \frac{1}{2} = 3 \times 2 = 6

11.12 除法转化成乘法

因为除法没有交换律和结合律，所以做题的时候，我们经常把除法转化成乘法。

怎么转化？除以一个数等于乘以这个数的倒数。

比如 12 ÷ 4 = 12 × \frac{1}{4} = 3

比如 15 ÷ 3 = 15 × \frac{1}{3} = 5

比如 20 ÷ 0.5 = 20 × 2 = 40

转化成乘法之后，就可以用乘法的交换律和结合律了。

比如 12 ÷ 4 ÷ 3，可以看成 12 × \frac{1}{4} × \frac{1}{3} = 12 × \frac{1}{12} = 1。

11.13 除法的应用：求平均数

除法最常见的应用是求平均数。

比如：小明语文85，数学92，英语90，平均分多少？

(85 + 92 + 90) ÷ 3 = 267 ÷ 3 = 89（分）

比如：5个人的年龄分别是12、13、14、15、16，平均年龄多少？

(12+13+14+15+16) ÷ 5 = 70 ÷ 5 = 14（岁）

平均数的公式：

\text{平均数} = \frac{\text{总和}}{\text{个数}}

11.14 除法的应用：求速度、单价、密度

除法还用来求各种“每单位”的量。

速度 = 路程 ÷ 时间

你走了120公里，用了2小时，速度 = 120 ÷ 2 = 60（公里/小时）

单价 = 总价 ÷ 数量

买了5斤苹果花了25元，单价 = 25 ÷ 5 = 5（元/斤）

密度 = 质量 ÷ 体积

一块金属质量78克，体积10立方厘米，密度 = 78 ÷ 10 = 7.8（克/立方厘米）

工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间

8小时做了240个零件，工作效率 = 240 ÷ 8 = 30（个/小时）

这些都是一样的：总量 ÷ 份数 = 每份的量。

11.15 这一章的核心

1. 除法的本质是乘法的逆运算，知道积与一个因数，求另一个因数。

2. 除法有两种理解：平均分（总数÷份数=每份数）和包含除（总数÷每份数=份数）。

3. 除法没有交换律和结合律，但可以转化成乘法来做。

4. 任何数除以1等于它本身；非0数除以本身等于1；0除以任何非0数等于0。

5. 0不能做除数。

6. 有余数的除法：被除数 = 除数 × 商 + 余数，且余数 < 除数。

7. 多位数除法：竖式计算，从高位除起。

8. 小数除法：移动小数点，把除数变成整数。

9. 分数除法：除以一个数等于乘以它的倒数。

10. 除法的常见应用：求平均数、求速度、求单价、求密度等。

动手试试

1. 用乘法逆运算想除法

根据乘法算式写出两个除法算式：

· 4 × 7 = 28

· 6 × 8 = 48

· 9 × 5 = 45

· (-3) × 6 = -18

· (-4) × (-7) = 28

2. 有余数的除法

计算：

· 17 ÷ 5

· 28 ÷ 6

· 35 ÷ 4

· 50 ÷ 7

· 100 ÷ 9

3. 多位数的除法

计算：

· 84 ÷ 7

· 126 ÷ 6

· 225 ÷ 15

· 378 ÷ 14

· 567 ÷ 21

4. 小数的除法

计算：

· 6.4 ÷ 0.8

· 7.5 ÷ 0.5

· 3.6 ÷ 1.2

· 0.48 ÷ 0.6

· 1.44 ÷ 0.12

5. 分数的除法

计算：

· \frac{2}{3} \div \frac{3}{4}

· \frac{5}{6} \div \frac{2}{3}

· \frac{3}{8} \div \frac{1}{4}

· \frac{7}{10} \div \frac{3}{5}

· 4 \div \frac{2}{3}

6. 应用题

· 120个苹果，平均分给8个人，每人几个？

· 买了6本书花了150元，每本多少钱？

· 你有45元，每个面包7元，能买几个？还剩多少？

· 小明身高150厘米，小华身高120厘米，小明是小华的几倍？

· 5次考试总分425分，平均分多少？

· 一辆车3小时走了210公里，速度多少？

7. 思考题

为什么0不能做除数？如果用0做除数，会发生什么？你能举一个生活中的例子来说明吗？

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第三部分预告：从第12章开始，我们要进入代数的世界，用字母代替数

第一本书：《数是什么，从数数到代数思维》

第三部分：用字母代替数，代数的开始

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第12章 为什么要用字母，从算术到代数的跨越

12.1 一个让人头疼的问题

先来看一个问题：

小明有一些苹果，小红比小明多3个，他们俩一共有15个苹果。小明有多少个苹果？

如果你是小学生，你会怎么解？

你可能这样想：如果小明有1个，小红就有4个，一共5个，不够15。

如果小明有2个，小红就有5个，一共7个，还是不够。

如果小明有3个，小红就有6个，一共9个。

如果小明有4个，小红就有7个，一共11个。

如果小明有5个，小红就有8个，一共13个。

如果小明有6个，小红就有9个，一共15个。对了！

这叫尝试法，也叫枚举法，一个一个试，试到对为止。

但如果数字很大呢？比如“他们俩一共有153个苹果”，你还要一个一个试吗？那得试到什么时候？

这就是算术的局限：算术是“知道数，求结果”；但当我们不知道某个数时，算术就很笨拙。

12.2 算术思维和代数思维的区别

算术思维和代数思维有什么区别？

算术思维：已知 → 未知

比如你知道3和5，求3+5等于多少。已知的都给你了，你只需要计算。

代数思维：未知 → 已知

比如你知道3加某个数等于8，求这个数。你只知道结果，不知道其中一个数，需要把它找出来。

算术是“顺着想”，代数是“倒着想”。

代数思维的核心是：用符号代表未知的数，把问题翻译成数学句子，然后解出来。

12.3 用字母代替数

怎么把上面的问题翻译成数学句子？

我们不知道小明有多少个苹果，就用一个符号来代替它。数学家喜欢用字母，比如 x。

设小明有 x 个苹果。

那么小红比小明多3个，小红就有 x + 3 个苹果。

他们俩一共有15个，所以：

x + (x + 3) = 15

这就是一个方程，含有未知数的等式。

接下来就是解这个方程：

x + x + 3 = 15

2x + 3 = 15

2x = 15 - 3 = 12

x = 6

所以小明有6个苹果。

你看，用字母代替数，就把一个需要猜的问题，变成了一个可以算的问题。

12.4 字母可以代表什么

字母可以代表很多种东西：

第一种：代表未知的数

就像上面的例子，x 代表我们不知道但想要求出来的数。

第二种：代表变化的数

比如“一个苹果2块钱，买n个需要多少钱？”

总价 = 2 \times n

这里的n可以取1、2、3……不同的值，得到不同的总价。

第三种：代表规律

比如“任何一个数乘以1都等于它本身”

用字母表示：a \times 1 = a

这里的a可以代表任何数，这个式子永远成立。

第四种：代表关系

比如“长方形的面积等于长乘以宽”

用字母表示：S = a \times b（S代表面积，a代表长，b代表宽）

12.5 为什么字母这么有用

字母有三大好处：

好处一：简洁

用文字说：“任何一个数乘以1都等于它本身”，很长。

用字母说：a \times 1 = a，很短。

好处二：通用

a + b = b + a 表示：任何两个数相加，交换顺序结果不变。

这一个式子，就概括了无数个具体算式：1+2=2+1，3+5=5+3，100+200=200+100……

好处三：能解决未知问题

像刚才的苹果问题，没有字母就只能一个一个试；有了字母，就能直接算出来。

12.6 用字母表示运算律

我们前面学过的运算律，用字母表示就特别简洁：

加法交换律：a + b = b + a

加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

乘法交换律：a \times b = b \times a

乘法结合律：(a \times b) \times c = a \times (b \times c)

乘法分配律：a \times (b + c) = a \times b + a \times c

这些字母可以代表任何数，正数、负数、分数、小数，甚至以后要学的无理数。一个式子，管所有情况。

12.7 代数式和算术式的区别

算术式：全是数字，比如 3 + 5 = 8，7 \times 6 = 42。

代数式：含有字母，比如 x + 3，2n + 1，a \times b。

代数式可以代入具体的数，变成一个算术式。

比如代数式 x + 3：

· 如果 x = 5，那么 x + 3 = 5 + 3 = 8

· 如果 x = 2，那么 x + 3 = 2 + 3 = 5

· 如果 x = -4，那么 x + 3 = -4 + 3 = -1

这叫代入求值，把字母换成具体的数，算出结果。

12.8 代数式的读法和写法

代数式怎么读？

· x + 3：读作“x加3”

· 2n：读作“2n”或“2乘以n”

· \frac{a}{b}：读作“a除以b”或“b分之a”

· x^2：读作“x的平方”或“x的二次方”

写法上要注意：

乘号可以省略：2 \times n 通常写成 2n，a \times b 写成 ab。

数字写在字母前面：n \times 3 写成 3n，不写成 n3。

除法写成分数形式：a \div b 通常写成 \frac{a}{b}。

12.9 用字母表示数的历史小知识

用字母表示数，是数学史上的一大飞跃。

在古代，人们都是用文字来描述数学问题。比如古埃及的纸草书上写着：“一个数，加上它的七分之一，等于19，求这个数。”，全是文字。

直到16世纪，法国数学家韦达开始系统性地用字母表示数，代数才真正诞生。所以韦达被称为“代数之父”。

用字母代替数，让数学从“算具体的东西”变成了“研究一般规律”。这是数学思维的一次巨大飞跃。

12.10 这一章的核心

1. 算术思维是“已知求未知”，代数思维是“用符号代表未知，然后解出来”。

2. 字母可以代表：未知的数、变化的数、规律、关系。

3. 字母的好处：简洁、通用、能解决未知问题。

4. 运算律用字母表示，一个式子概括所有情况。

5. 代数式是含有字母的式子，可以代入具体数求值。

6. 写法注意：乘号省略，数字在前，除法写成分数。

动手试试

1. 用字母表示

用字母表示下面的数量关系：

· 一个数加上5

· 一个数的3倍

· 一个数的一半

· 比一个数大2的数

· 一个数的平方

· 两个数的和

· 两个数的积

· 长方形的面积（长a，宽b）

· 速度（路程s，时间t）

2. 代入求值

如果 x = 5，求下面代数式的值：

· x + 3

· 2x - 1

· 3x + 4

· \frac{x}{2}

· x^2

如果 a = 3, b = 4，求：

· a + b

· a \times b

· 2a + 3b

· \frac{a}{b}

· a^2 + b^2

3. 把文字翻译成代数式

· 小明有x本书，小红比小明多5本，小红有多少本？

· 一个数y的3倍减去2

· 甲数是a，乙数是甲数的2倍加1，乙数是多少？

· 一个长方形的长是l，宽比长短3，宽是多少？

· 单价p元，买了n个，总价多少？

4. 用字母表示运算律

用字母写出：

· 加法交换律

· 乘法结合律

· 乘法分配律

· 任何数乘以0等于0

· 任何数除以1等于它本身

5. 思考题

为什么说“用字母代替数”是数学史上的一大飞跃？如果没有字母，数学会是什么样子？

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下一章预告：代数式的运算，合并同类项

第13章 代数式的运算，合并同类项

13.1 一个让人困惑的问题

先来看几个代数式：

· 3x + 2x

· 5a + 3b

· 4x^2 + 2x + 3x^2 + x

你会算吗？

第一个：3x + 2x，很多人知道等于 5x。但为什么？因为 3个x加上2个x，一共是5个x，就像3个苹果加2个苹果等于5个苹果。

第二个：5a + 3b，能合并吗？不能。因为a和b代表不同的东西，就像5个苹果加3个梨，你不能说一共是8个苹果梨。

第三个：4x^2 + 2x + 3x^2 + x，哪些能合并？4x^2和3x^2能合并，2x和x能合并，但x^2和x不能合并。

这就引出了一个重要的概念：同类项。

13.2 什么是同类项

同类项就是：字母部分完全相同的项。

比如：

· 3x 和 2x 是同类项（字母都是x）

· 5a 和 3a 是同类项（字母都是a）

· 4x^2 和 3x^2 是同类项（字母都是x^2）

· 2xy 和 5xy 是同类项（字母都是xy）

但：

· 3x 和 3y 不是同类项（字母不同）

· 4x^2 和 2x 不是同类项（字母部分不同，一个是x^2，一个是x）

· 2xy 和 3x 不是同类项（字母部分不同）

判断是不是同类项，就看两点：

1. 字母相同

2. 相同字母的指数相同

比如 3x^2 和 5x^2 是同类项（都是x的平方），但 3x^2 和 5x 不是（一个是平方，一个是一次）。

13.3 合并同类项

什么叫合并同类项？就是把同类项的系数相加，字母部分不变。

比如 3x + 2x = (3+2)x = 5x

比如 5a + 3a = (5+3)a = 8a

比如 4x^2 + 3x^2 = (4+3)x^2 = 7x^2

比如 2xy + 5xy = (2+5)xy = 7xy

如果系数是负数，也一样：

· 5x - 3x = (5-3)x = 2x

· -2a + 7a = (-2+7)a = 5a

· 4x^2 - 6x^2 = (4-6)x^2 = -2x^2

13.4 多个项的合并

来看一个复杂的例子：

4x^2 + 2x + 3x^2 + x + 5

第一步：找出同类项

· x^2项：4x^2 和 3x^2

· x项：2x 和 x（注意 x 就是 1x）

· 常数项：5（常数项就是没有字母的项，它们也是同类项）

第二步：分别合并

· x^2项：4x^2 + 3x^2 = 7x^2

· x项：2x + x = 2x + 1x = 3x

· 常数项：5（只有一个，照写）

第三步：写成多项式

7x^2 + 3x + 5

再来看一个带负号的：

5a^2 - 3a + 2a^2 + 4a - 7

第一步：找同类项

· a^2项：5a^2 和 2a^2

· a项：-3a 和 4a

· 常数项：-7

第二步：合并

· a^2项：5a^2 + 2a^2 = 7a^2

· a项：-3a + 4a = 1a = a

· 常数项：-7

第三步：结果

7a^2 + a - 7

13.5 为什么不能合并非同类型

为什么 3x + 2y 不能合并成 5xy 或者 5 什么？

因为 x 和 y 代表不同的东西。假设 x 代表苹果，y 代表梨，那么 3x + 2y 就是“3个苹果加2个梨”。你能说一共是“5个苹果梨”吗？不能。苹果和梨不能混着算。

同样，x^2 和 x 也不能合并。x^2 是边长为x的正方形面积，x 是长度，面积和长度不能直接相加。

所以合并同类项的本质是：只有相同的东西才能相加。

13.6 合并同类项的几何意义

用几何图形可以帮助理解为什么同类项才能合并。

比如 3x + 2x：

· 3x 可以看成3个长度为x的线段

· 2x 是2个长度为x的线段

把它们接在一起，就是5个长度为x的线段，也就是 5x。

比如 4x^2 + 3x^2：

· 4x^2 是4个边长为x的正方形

· 3x^2 是3个边长为x的正方形

把它们放在一起，一共是7个这样的正方形，也就是 7x^2。

但 x^2 和 x 一个是正方形，一个是线段，没法直接拼在一起。

13.7 去括号

在合并同类项之前，有时需要先去括号。

去括号的法则：

如果括号前面是加号，直接去掉括号，里面的项不变号：

+(a + b - c) = a + b - c

如果括号前面是减号，去掉括号后，里面的每一项都要变号：

-(a + b - c) = -a - b + c

为什么？因为减号相当于乘以 -1：

-(a + b - c) = (-1) \times (a + b - c) = (-1) \times a + (-1) \times b + (-1) \times (-c) = -a - b + c

来看几个例子：

例1：

(3x + 2y) + (4x - 3y)

前面是加号，直接去括号：

3x + 2y + 4x - 3y

合并同类项：

(3x + 4x) + (2y - 3y) = 7x - y

例2：

(5a + 3b) - (2a + 4b)

前面是减号，去括号后里面的项变号：

5a + 3b - 2a - 4b

合并同类项：

(5a - 2a) + (3b - 4b) = 3a - b

例3：

(4x^2 + 3x - 5) - (2x^2 - 3x + 1)

去括号（注意第二括号前是减号）：

4x^2 + 3x - 5 - 2x^2 + 3x - 1

合并同类项：

(4x^2 - 2x^2) + (3x + 3x) + (-5 - 1) = 2x^2 + 6x - 6

13.8 括号前面有数字

如果括号前面有数字，比如 3(2x + 5)，怎么办？

用乘法分配律：

3(2x + 5) = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 6x + 15

再比如 -2(3a - 4b)：

-2(3a - 4b) = (-2) \times 3a + (-2) \times (-4b) = -6a + 8b

注意符号：负负得正。

13.9 合并同类项的完整步骤

合并一个复杂的代数式，可以按以下步骤：

第一步：去括号（如果有括号）

第二步：找同类项（字母部分相同的项）

第三步：合并同类项（系数相加）

第四步：按某种顺序排列（通常按字母的指数从高到低）

比如：

2(3x + 4) - (5x - 2) + 3x^2

第一步：去括号

2 \times 3x + 2 \times 4 - 5x + 2 + 3x^2 = 6x + 8 - 5x + 2 + 3x^2

第二步：找同类项

· x^2项：3x^2

· x项：6x 和 -5x

· 常数项：8 和 2

第三步：合并

· x^2项：3x^2

· x项：6x - 5x = x

· 常数项：8 + 2 = 10

第四步：排列

3x^2 + x + 10

13.10 常见错误

合并同类项时，有几个常见错误要注意：

错误一：把不同类的项合并

比如 3x + 2y = 5xy ❌

正确：3x + 2y 已经是最简，不能合并。

错误二：漏掉系数为1的项

比如 x + 2x = 3x，但有人会写成 2x，忘了 x 就是 1x。

正确：x + 2x = 1x + 2x = 3x

错误三：符号搞错

比如 5x - 3x = 2x ✅

但 5x - 3x 有人会算成 8x ❌

错误四：去括号时符号不变

比如 (3x + 2) - (x - 4) = 3x + 2 - x - 4 ❌（应该 - x + 4）

正确：3x + 2 - x + 4 = 2x + 6

13.11 合并同类项有什么用

合并同类项是代数运算的基础，后面学解方程、学多项式运算都要用到。

比如解方程 3x + 5 + 2x - 3 = 12：

先合并左边：5x + 2 = 12

然后解：5x = 10，x = 2

如果不合并，就会很乱。

13.12 这一章的核心

1. 同类项：字母部分完全相同（字母相同，相同字母的指数相同）的项。

2. 合并同类项：同类项的系数相加，字母部分不变。

3. 不是同类项不能合并。

4. 去括号法则：括号前是加号，直接去括号；括号前是减号，去括号后每一项变号。

5. 括号前有数字，用乘法分配律。

6. 合并同类项的步骤：去括号→找同类项→合并→排列。

动手试试

1. 判断是不是同类项

下面哪些是同类项？

· 3x 和 5x

· 2a 和 2b

· 4x^2 和 3x

· 5xy 和 2xy

· 3x^2y 和 2xy^2

· 7 和 3（常数项）

2. 合并同类项

合并：

· 3x + 5x

· 7a - 2a

· 4b + 3b - 2b

· 5x^2 + 2x^2 - 3x^2

· 3xy + 5xy - 2xy

3. 合并多项式

合并：

· 3x + 2y + 4x + 3y

· 5a - 3b + 2a + 4b

· 4x^2 + 3x + 2x^2 + x

· 6m - 2n + 3m + 5n - 4m

· 2x^2 + 3x - 5 + x^2 - 2x + 4

4. 先去括号再合并

计算：

· (3x + 2) + (4x + 5)

· (5a + 3) - (2a + 1)

· (4x^2 + 3x) + (2x^2 - x)

· (7m - 3n) - (2m + 4n)

· 3(2x + 5) + 2(4x - 3)

5. 综合练习

化简：

· 2(3a + 4) - (5a - 2)

· 4(x + 2y) - 3(2x - y)

· 3(2x^2 + x - 1) - 2(x^2 - 3x + 4)

· 5(2a - 3b) + 2(3a + 4b) - 4(a - b)

6. 思考题

为什么 3x 和 3x^2 不能合并？你能用几何图形解释吗？

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下一章预告：解方程，把未知数找出来

第14章 等式与天平，方程的基础

14.1 从跷跷板说起

你小时候玩过跷跷板吗？

两个人坐在两端，如果两边一样重，跷跷板就是平的；如果一边重一边轻，重的那边就会沉下去，轻的那边会翘起来。

跷跷板平衡的时候，左边和右边一样重。这种平衡的状态，在数学里就叫等式。

比如：

左边坐一个30公斤的孩子，右边坐一个30公斤的孩子，平衡。

用数学写出来就是：30 = 30

如果左边坐两个15公斤的孩子，右边坐一个30公斤的孩子，也平衡：

15 + 15 = 30

如果左边坐一个30公斤的孩子，右边坐一个20公斤的孩子加一个10公斤的书包，也平衡：

30 = 20 + 10

这就是等式：等号两边相等。

14.2 什么是等式

等式就是含有等号的式子，表示左右两边相等。

比如：

· 3 + 5 = 8 是等式

· 7 - 2 = 5 是等式

· 4 \times 6 = 24 是等式

· 12 \div 3 = 4 是等式

等式可以全是数字，也可以含有字母：

· x + 3 = 8 是等式

· 2a = 10 是等式

· 3y - 5 = 7 是等式

含有字母的等式，就是我们下一章要学的方程。

14.3 天平模型

数学家为了帮助大家理解等式，发明了一个模型，天平。

天平就像跷跷板，中间一个支点，两边各有一个盘子。左边放的东西和右边放的东西如果一样重，天平就平衡；如果不一样重，天平就会倾斜。

等式就是平衡的天平：

· 等号相当于天平的支点

· 左边相当于天平的左边盘子

· 右边相当于天平的右边盘子

比如 x + 3 = 8，可以想象成：

左边盘子：一个未知重量的物体 x 加上 3 公斤的砝码

右边盘子：一个 8 公斤的砝码

天平是平衡的。

14.4 天平的操作规则

如果我们想让天平保持平衡，有几条非常重要的规则：

规则一：两边加同样的东西，天平仍然平衡

假设天平是平衡的，左边放一个苹果，右边放一个梨，平衡。

现在两边各加一个橘子，天平还是平衡的。

用数学说：如果 a = b，那么 a + c = b + c。

比如 x + 3 = 8，两边同时加 2：

x + 3 + 2 = 8 + 2，即 x + 5 = 10，仍然成立。

规则二：两边减同样的东西，天平仍然平衡

如果天平平衡，两边各拿走同样的东西，天平还是平衡的。

用数学说：如果 a = b，那么 a - c = b - c。

比如 x + 3 = 8，两边同时减 3：

x + 3 - 3 = 8 - 3，即 x = 5。

这正是我们解方程的方法！

规则三：两边乘同样的数（不能乘0），天平仍然平衡

如果天平平衡，两边各放同样倍数的东西，天平还是平衡的。

用数学说：如果 a = b，那么 a \times c = b \times c（c \neq 0）。

比如 2x = 10，两边同时乘 \frac{1}{2}（也就是除以2）：

2x \times \frac{1}{2} = 10 \times \frac{1}{2}，即 x = 5。

规则四：两边除以同样的数（不能除以0），天平仍然平衡

如果天平平衡，两边各除以同一个数，天平还是平衡的。

用数学说：如果 a = b，那么 a \div c = b \div c（c \neq 0）。

比如 3x = 12，两边同时除以3：

3x \div 3 = 12 \div 3，即 x = 4。

14.5 等式的性质

上面四条规则，总结起来就是等式的性质：

性质一：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。

如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c。

性质二：等式两边同时乘以（或除以）同一个非零数，等式仍然成立。

如果 a = b，那么 a \times c = b \times c（c \neq 0），a \div c = b \div c（c \neq 0）。

这两个性质是解方程的根本依据。

14.6 用天平理解移项

我们来看一个例子：x + 3 = 8

天平左边有 x 和 3，右边有 8。

我们想知道 x 是多少，就要让左边只剩下 x，把 3 去掉。

怎么去掉 3？两边同时减去 3：

x + 3 - 3 = 8 - 3

左边 3 和 -3 抵消，剩下 x；右边 8 - 3 = 5。

所以 x = 5。

这个过程，在数学上常常写成：

x + 3 = 8

x = 8 - 3

x = 5

你看，左边的 +3 跑到右边变成了 -3。这就是移项，把一项从等式一边移到另一边，要改变符号。

14.7 为什么移项要变号

移项变号，其实就是在两边同时减去（或加上）同一个数。

比如 x + 3 = 8，要把 +3 去掉，就在两边同时减 3：

左边 x + 3 - 3 = x，右边 8 - 3。

所以相当于 +3 移到右边变成了 -3。

再比如 x - 5 = 10，要把 -5 去掉，就在两边同时加 5：

左边 x - 5 + 5 = x，右边 10 + 5 = 15。

所以相当于 -5 移到右边变成了 +5。

移项法则：把一项从等式一边移到另一边，要改变它的符号，加变减，减变加，乘变除，除变乘。

14.8 等式和代数式有什么区别

很多人分不清等式和代数式，这里要分清：

代数式：像 3x + 5、2a - 4b、x^2 + 2x + 1 这样的式子，没有等号。它只是一个表达式，可以求值，但不能“解”。

等式：像 3x + 5 = 14、2a = 10 这样的式子，有等号。它表示左右两边相等，可以“解”出未知数。

代数式就像一句话，等式就像一个问题。

14.9 恒等式和方程

等式还可以分为两种：

恒等式：无论字母取什么值，都成立的等式。

比如：

· a + b = b + a（加法交换律，永远成立）

· a \times (b + c) = a \times b + a \times c（分配律，永远成立）

· (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2（完全平方公式，永远成立）

方程：只有字母取某些特定值时，才成立的等式。

比如：

· x + 3 = 8，只有 x = 5 时成立

· 2x = 10，只有 x = 5 时成立

· x^2 = 9，只有 x = 3 或 x = -3 时成立

我们后面要解的，就是方程。

14.10 这一章的核心

1. 等式就是含有等号的式子，表示左右两边相等。

2. 天平是理解等式的好模型，平衡的天平就像等式。

3. 等式的性质：两边同加、同减、同乘、同除（不能除0），等式仍然成立。

4. 移项：把一项从等式一边移到另一边，要改变符号。

5. 代数式没有等号，等式有等号。

6. 恒等式永远成立，方程只在特定值成立。

动手试试

1. 判断下面哪些是等式

· 3 + 5 = 8

· 2x + 3

· x - 7 = 10

· 4a + 2b

· 3(x + 2) = 3x + 6

2. 用天平想象

如果左边有 x 和 4，右边有 10，天平平衡，写出等式。

如果左边有 2x，右边有 8，天平平衡，写出等式。

如果左边有 x + 2，右边有 7，天平平衡，写出等式。

3. 用等式的性质填空

· 如果 x + 5 = 12，那么 x + 5 - 5 = 12 - \_\_\_\_，所以 x = \_\_\_\_

· 如果 x - 3 = 7，那么 x - 3 + 3 = 7 + \_\_\_\_，所以 x = \_\_\_\_

· 如果 3x = 15，那么 3x \div 3 = 15 \div \_\_\_\_，所以 x = \_\_\_\_

· 如果 \frac{x}{4} = 5，那么 \frac{x}{4} \times 4 = 5 \times \_\_\_\_，所以 x = \_\_\_\_

4. 用移项填空

· x + 7 = 15，移项得 x = 15 \_\_\_\_ 7

· x - 5 = 9，移项得 x = 9 \_\_\_\_ 5

· 2x = 12，移项得 x = 12 \_\_\_\_ 2

· \frac{x}{3} = 6，移项得 x = 6 \_\_\_\_ 3

5. 判断恒等式还是方程

· 3 + 4 = 7

· x + 2 = 5

· a + b = b + a

· 2(x + 3) = 2x + 6

· 2x = 8

6. 思考题

为什么等式两边不能同时乘以0？如果两边乘以0，会发生什么？

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下一章预告：解方程，把未知数找出来

第15章 解方程，把未知数找出来

15.1 从猜谜到解方程

我们先来玩一个猜谜游戏：

我心里想了一个数，把它加上5，结果是12。我心里想的数是多少？

你可能脱口而出：7！因为7+5=12。

你怎么算出来的？用减法：12-5=7。

这就是最简单的方程：x + 5 = 12。

再玩一个：

我心里想了一个数，把它乘以3，结果是21。这个数是多少？

7！因为3×7=21，或者21÷3=7。

这就是方程：3x = 21。

再玩一个难一点的：

我心里想了一个数，把它乘以2，再加上3，结果是13。这个数是多少？

这次不能一眼看出来了。但你可以倒着推：

最后结果是13，是加上3得到的，那么加3之前应该是13-3=10。

这个10是乘以2得到的，那么乘以2之前应该是10÷2=5。

所以这个数是5。

验证：2×5+3=10+3=13，正确。

这就是解方程的思路：从结果出发，一步一步倒着推回去。

15.2 什么是方程

方程就是含有未知数的等式。

比如：

· x + 3 = 8

· 2x - 5 = 11

· 3(x + 2) = 15

· \frac{x}{4} = 6

这些都有一个共同点：有一个字母（通常是x）代表我们不知道的数，等号两边相等。

方程的三要素：

1. 含有未知数（通常是字母）

2. 是等式（有等号）

3. 未知数需要求出来

15.3 方程的解

方程的解就是使等式成立的未知数的值。

比如 x + 3 = 8，把 x = 5 代入：

左边 5 + 3 = 8，右边也是8，等式成立。所以 x = 5 是这个方程的解。

比如 2x = 10，把 x = 5 代入：

左边 2×5 = 10，右边也是10，成立。所以 x = 5 是解。

比如 x^2 = 9，把 x = 3 代入：3^2 = 9，成立；把 x = -3 代入：(-3)^2 = 9，也成立。所以这个方程有两个解：x = 3 或 x = -3。

解方程就是求方程的解的过程。

15.4 解方程的基本思路

解方程的基本思路是：把未知数单独放在一边，把数字放在另一边。

怎么做到？用等式的性质，两边同时做相同的运算。

我们来看几个基本类型：

类型一：x + a = b

比如 x + 5 = 12

要把 x 单独放在左边，就要把左边的 +5 去掉。

怎么去掉？两边同时减去5：

x + 5 - 5 = 12 - 5

x = 7

或者用移项：+5 移到右边变成 -5，x = 12 - 5 = 7。

类型二：x - a = b

比如 x - 3 = 8

要把 -3 去掉，两边同时加3：

x - 3 + 3 = 8 + 3

x = 11

移项：-3 移到右边变成 +3，x = 8 + 3 = 11。

类型三：ax = b

比如 3x = 15

要把 3 去掉，两边同时除以3：

3x \div 3 = 15 \div 3

x = 5

移项：乘3移到右边变成除以3，x = 15 \div 3 = 5。

类型四：\frac{x}{a} = b

比如 \frac{x}{4} = 6

要把除以4去掉，两边同时乘以4：

\frac{x}{4} \times 4 = 6 \times 4

x = 24

移项：除以4移到右边变成乘以4，x = 6 \times 4 = 24。

15.5 两步方程

有些方程需要两步才能解出来。

比如 2x + 3 = 13

第一步：先把常数项移走

2x + 3 = 13

两边同时减3：

2x = 13 - 3 = 10

第二步：再把系数除掉

2x = 10

两边同时除以2：

x = 10 \div 2 = 5

所以解是 x = 5。

再比如 3x - 4 = 11

第一步：两边加4

3x = 11 + 4 = 15

第二步：两边除以3

x = 15 \div 3 = 5

再比如 \frac{x}{2} + 5 = 9

第一步：两边减5

\frac{x}{2} = 9 - 5 = 4

第二步：两边乘2

x = 4 \times 2 = 8

15.6 含有括号的方程

如果方程里有括号，先去括号，再解。

比如 3(x + 2) = 15

第一步：去括号

3x + 6 = 15

第二步：两边减6

3x = 15 - 6 = 9

第三步：两边除以3

x = 9 \div 3 = 3

再比如 2(x - 3) = 8

去括号： 2x - 6 = 8

两边加6： 2x = 14

两边除以2： x = 7

15.7 两边都有未知数的方程

有时候未知数会出现在等号两边，比如 3x + 5 = 2x + 10

怎么办？把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。

第一步：把 2x 移到左边

两边同时减 2x：

3x + 5 - 2x = 2x + 10 - 2x

x + 5 = 10

第二步：两边减5

x = 10 - 5 = 5

再比如 5x - 3 = 2x + 9

第一步：把 2x 移到左边

两边减 2x：

5x - 3 - 2x = 2x + 9 - 2x

3x - 3 = 9

第二步：两边加3

3x = 12

第三步：两边除以3

x = 4

15.8 含有分数的方程

如果方程里有分数，可以先两边乘以分母，把分数去掉。

比如 \frac{x}{3} + 2 = 5

第一步：两边减2

\frac{x}{3} = 3

第二步：两边乘3

x = 9

再比如 \frac{2x}{3} = 4

两边乘3：

2x = 12

两边除以2：

x = 6

再比如 \frac{x + 2}{3} = 5

两边乘3：

x + 2 = 15

两边减2：

x = 13

15.9 解方程的检验

解完方程后，最好检验一下，把求出的解代回原方程，看看左右两边是否相等。

比如解 2x + 3 = 11，得到 x = 4。

检验：

左边 2×4 + 3 = 8 + 3 = 11

右边 11

左边=右边，正确。

如果检验发现不相等，说明解错了，需要重新检查步骤。

15.10 解方程的一般步骤

总结一下，解一元一次方程的一般步骤：

第一步：去括号（如果有括号）

第二步：移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号）

第三步：合并同类项（化简两边）

第四步：系数化为1（两边除以未知数的系数）

第五步：检验（把解代回原方程）

比如解 2(3x - 1) = 4x + 6

去括号： 6x - 2 = 4x + 6

移项： 6x - 4x = 6 + 2（注意移项变号）

合并： 2x = 8

系数化为1： x = 4

检验： 左边 2(3×4 - 1) = 2(12 - 1) = 2×11 = 22，右边 4×4 + 6 = 16 + 6 = 22，正确。

15.11 解方程的应用

解方程不是只为了做题，它能解决很多实际问题。

例1：年龄问题

小明今年 x 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年42岁。小明多少岁？

方程：x + 28 = 42

解：x = 42 - 28 = 14，小明14岁。

例2：价格问题

一支钢笔 x 元，买3支花了15元。每支多少钱？

方程：3x = 15

解：x = 5，每支5元。

例3：混合问题

一个数乘以2，再加上5，等于13。这个数是多少？

设这个数为 x，方程：2x + 5 = 13

解：2x = 8，x = 4。

例4：分配问题

一些苹果分给小朋友，每人分3个，还剩4个；如果每人分4个，还差2个。有多少个小朋友？

设小朋友有 x 人，苹果总数是 3x + 4，也是 4x - 2。

方程：3x + 4 = 4x - 2

解：4 + 2 = 4x - 3x，6 = x，所以有6个小朋友。

苹果数：3×6 + 4 = 22个。

15.12 常见错误

解方程时，有几个常见错误要注意：

错误一：移项不变号

比如 x + 3 = 8，有人写成 x = 8 + 3，得到 x = 11 ❌

正确应该是 x = 8 - 3 = 5。

错误二：两边不同时做相同运算

比如 2x + 3 = 11，有人只在左边减3，右边没减 ❌

必须两边同时做相同的运算。

错误三：系数化为1时除错

比如 3x = 12，有人写成 x = 12 × 3 ❌

正确应该是 x = 12 ÷ 3 = 4。

错误四：去括号时符号错

比如 3 - (x + 2) = 5，有人去括号写成 3 - x + 2 = 5 ❌

正确应该是 3 - x - 2 = 5（括号前是减号，里面每一项都要变号）。

15.13 这一章的核心

1. 方程是含有未知数的等式，解方程就是求未知数的值。

2. 解方程的基本思路：把未知数单独放在一边，数字放在另一边。

3. 用等式的性质：两边同加、同减、同乘、同除（不能除0）。

4. 移项要变号：加变减，减变加，乘变除，除变乘。

5. 解方程的一般步骤：去括号→移项→合并→系数化为1→检验。

6. 方程能解决很多实际问题：年龄、价格、分配等。

动手试试

1. 解简单方程

· x + 7 = 15

· x - 5 = 9

· 3x = 21

· \frac{x}{4} = 8

· 2x + 3 = 11

· 5x - 2 = 13

2. 解两步方程

· 3x + 4 = 19

· 4x - 5 = 15

· \frac{x}{3} + 2 = 7

· 2(x + 3) = 14

· 3(x - 2) = 12

3. 解两边都有未知数的方程

· 2x + 5 = x + 9

· 3x - 4 = 2x + 3

· 5x + 2 = 3x + 10

· 4x - 3 = 2x + 7

· 6x + 5 = 4x + 13

4. 解含有括号的方程

· 2(3x - 1) = 10

· 3(2x + 1) = 15

· 4(x - 2) = 2(x + 4)

· 5(2x + 3) = 3(3x + 4)

5. 解含有分数的方程

· \frac{x}{2} = 6

· \frac{2x}{3} = 8

· \frac{x + 1}{2} = 5

· \frac{3x - 1}{4} = 2

6. 列方程解应用题

· 一个数加上8等于15，求这个数。

· 一个数的3倍等于21，求这个数。

· 小明有x本书，小红比小明多5本，两人一共有25本，小明有多少本？

· 一支钢笔比一支圆珠笔贵3元，买2支钢笔和3支圆珠笔共花24元，钢笔和圆珠笔各多少钱？

· 一个长方形的长是宽的2倍，周长是30厘米，长和宽各是多少？

7. 检验解

解下面方程并检验：

· 3x - 7 = 8

· 2(x + 4) = 18

· 5x + 2 = 3x + 10

8. 思考题

为什么解方程时两边必须做相同的运算？如果只在一边做运算，会怎么样？

---

下一章预告：方程组，两个未知数怎么办

第16章 方程组，两个未知数怎么办

16.1 一个未知数不够用了

到现在为止，我们解的都是一个未知数的方程。比如：

小明有一些苹果，小红比小明多3个，两人一共有15个。小明有多少个？

我们设小明有 x 个，小红有 x + 3 个，列出方程：

x + (x + 3) = 15

解得 x = 6。

这个办法很好，因为只有一个未知数。

但有些问题，一个未知数就不够用了。比如：

小明和小红一共有15个苹果，如果小明给小红2个，那么两人的苹果就一样多。小明和小红原来各有多少个？

这个问题里，小明和小红的苹果数都不知道。如果我们只设一个未知数，比如设小明有 x 个，那么小红有 15 - x 个，也能做。但列方程的时候会有点绕。

更直接的办法是：设小明有 x 个，小红有 y 个。

这样，问题里的两个条件就可以写成：

条件一： 两人一共有15个

x + y = 15

条件二： 小明给小红2个后，两人一样多

小明给小红2个后，小明剩 x - 2 个，小红变成 y + 2 个，这两个相等：

x - 2 = y + 2

现在我们有了两个方程，都含有 x 和 y。这样的两个方程放在一起，就叫方程组。

16.2 什么是方程组

方程组就是两个或两个以上的方程放在一起，它们有共同的未知数，需要同时满足。

比如：

\begin{cases}

x + y = 15 \\

x - 2 = y + 2

\end{cases}

这个花括号“{”表示“同时成立”，我们要找的 x 和 y 必须让第一个方程成立，同时也让第二个方程成立。

方程组的解就是同时满足所有方程的未知数的值。比如上面这个方程组，解是 x = 9.5，y = 5.5？我们后面来算。

16.3 方程组的两种解法

解方程组主要有两种方法：代入法和加减法。

我们先用代入法来解上面的方程组。

第一步：把一个方程变形，用其中一个未知数表示另一个

从第一个方程 x + y = 15，可以得到：

y = 15 - x

第二步：代入另一个方程

把 y = 15 - x 代入第二个方程 x - 2 = y + 2：

x - 2 = (15 - x) + 2

第三步：解这个一元一次方程

x - 2 = 17 - x

x + x = 17 + 2

2x = 19

x = 9.5

第四步：求另一个未知数

把 x = 9.5 代入 y = 15 - x：

y = 15 - 9.5 = 5.5

第五步：检验

第一个方程：9.5 + 5.5 = 15，成立。

第二个方程：小明给小红2个后，小明剩 9.5 - 2 = 7.5，小红变成 5.5 + 2 = 7.5，相等，成立。

所以方程组的解是：小明原来有9.5个苹果，小红有5.5个苹果。

苹果还能有半个？这确实是个问题，但数学上没问题，实际生活中我们可以理解为半个苹果。或者题目可以改成“苹果的总数”是偶数，就不会有半果了。

16.4 代入法详解

代入法的步骤：

1. 选一个方程，变形：把一个方程变形为“一个未知数用另一个未知数表示”的形式，比如 y = 。 或 x = 。

2. 代入：把这个式子代入另一个方程，得到一个一元一次方程

3. 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值

4. 回代：把这个值代回变形的式子，求出另一个未知数的值

5. 检验：把求出的两个值代回原方程组检验

再看一个例子：

\begin{cases}

2x + y = 10 \\

x - y = 2

\end{cases}

第一步：变形

从第二个方程 x - y = 2，得 x = y + 2

第二步：代入

代入第一个方程：2(y + 2) + y = 10

第三步：解

2y + 4 + y = 10

3y + 4 = 10

3y = 6

y = 2

第四步：回代

x = y + 2 = 2 + 2 = 4

第五步：检验

第一个：2×4 + 2 = 8 + 2 = 10，成立

第二个：4 - 2 = 2，成立

所以解是 x = 4, y = 2。

16.5 加减法

除了代入法，还有一种常用的方法叫加减法（也叫消元法）。

加减法的思路是：把两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

比如上面的方程组：

\begin{cases}

2x + y = 10 \\

x - y = 2

\end{cases}

观察这两个方程，一个里面有 +y，一个里面有 -y。如果把它们相加，y 就消掉了：

第一步：两式相加

(2x + y) + (x - y) = 10 + 2

2x + x + y - y = 12

3x = 12

第二步：解出 x

x = 4

第三步：代入求 y

代入第一个方程：2×4 + y = 10

8 + y = 10

y = 2

结果和代入法一样。

16.6 什么时候用加法，什么时候用减法

如果两个方程中，同一个未知数的系数互为相反数（比如 +3y 和 -3y），就用加法消去这个未知数。

如果两个方程中，同一个未知数的系数相等（比如 +3y 和 +3y），就用减法消去这个未知数。

比如：

\begin{cases}

3x + 2y = 13 \\

3x - 2y = 5

\end{cases}

两个方程都有 3x，系数相等，相减可以消去 x：

(3x + 2y) - (3x - 2y) = 13 - 5

3x - 3x + 2y - (-2y) = 8

2y + 2y = 8

4y = 8

y = 2

然后代入求 x。

16.7 系数不同怎么办

如果两个方程中，同一个未知数的系数既不相等也不相反，怎么办？

比如：

\begin{cases}

2x + 3y = 13 \\

3x - 2y = 4

\end{cases}

这时不能直接加或减消去一个未知数。但我们可以先把方程变形，让某个未知数的系数变得相等或相反。

比如想消去 x：

第一个方程乘3，得 6x + 9y = 39

第二个方程乘2，得 6x - 4y = 8

现在两个方程的 x 系数都是6，相减就可以消去 x。

具体步骤：

第一步：把两个方程变形，使某个未知数的系数相等或相反

\begin{cases}

2x + 3y = 13 \quad \xrightarrow{\times 3} \quad 6x + 9y = 39 \\

3x - 2y = 4 \quad \xrightarrow{\times 2} \quad 6x - 4y = 8

\end{cases}

第二步：两式相减

(6x + 9y) - (6x - 4y) = 39 - 8

6x - 6x + 9y + 4y = 31

13y = 31

y = \frac{31}{13}

第三步：代入求 x

代入第一个方程：2x + 3×\frac{31}{13} = 13

2x + \frac{93}{13} = 13

2x = 13 - \frac{93}{13} = \frac{169}{13} - \frac{93}{13} = \frac{76}{13}

x = \frac{38}{13}

所以解是 x = \frac{38}{13}, y = \frac{31}{13}。

16.8 两种方法的选择

代入法适用于：其中一个方程已经很容易变形（比如 x = 。 或 y = 。）的情况。

加减法适用于：两个方程的系数有某种对称性，或者系数比较简单的情况。

实际解题时，两种方法都可以用，选自己顺手的就行。

16.9 方程组的应用

方程组能解决很多实际问题。

例1：年龄问题

爸爸比小明大28岁，5年后爸爸的年龄是小明的3倍。爸爸和小明现在各多少岁？

设爸爸现在 x 岁，小明现在 y 岁。

条件一：爸爸比小明大28岁

x = y + 28

条件二：5年后，爸爸 x + 5 岁，小明 y + 5 岁，爸爸是小明的3倍

x + 5 = 3(y + 5)

解这个方程组（用代入法）：

把第一个代入第二个：

y + 28 + 5 = 3(y + 5)

y + 33 = 3y + 15

33 - 15 = 3y - y

18 = 2y

y = 9

x = 9 + 28 = 37

所以爸爸37岁，小明9岁。

例2：鸡兔同笼

笼子里有鸡和兔，一共20个头，50条腿。鸡和兔各有多少只？

设鸡有 x 只，兔有 y 只。

条件一：头数

x + y = 20

条件二：腿数（鸡2条腿，兔4条腿）

2x + 4y = 50

解这个方程组（用加减法）：

第一个方程乘2：2x + 2y = 40

减去第二个方程：(2x + 2y) - (2x + 4y) = 40 - 50

2x - 2x + 2y - 4y = -10

-2y = -10

y = 5

代入第一个：x + 5 = 20，x = 15

所以鸡15只，兔5只。

检验：头数15+5=20，腿数15×2+5×4=30+20=50，正确。

例3：价格问题

买2斤苹果和3斤梨共花24元，买3斤苹果和2斤梨共花26元。苹果和梨每斤各多少元？

设苹果每斤 x 元，梨每斤 y 元。

条件一：2x + 3y = 24

条件二：3x + 2y = 26

解这个方程组（用加减法）：

想消去 y，让两个方程的 y 系数相等：

第一个乘2：4x + 6y = 48

第二个乘3：9x + 6y = 78

相减：(9x + 6y) - (4x + 6y) = 78 - 48

5x = 30

x = 6

代入第一个：2×6 + 3y = 24，12 + 3y = 24，3y = 12，y = 4

所以苹果每斤6元，梨每斤4元。

16.10 方程组解的三种情况

不是所有方程组都有唯一解。有三种可能：

情况一：有唯一解

像上面所有的例子，两条直线相交于一点，有唯一解。

情况二：无解

比如：

\begin{cases}

x + y = 5 \\

x + y = 7

\end{cases}

这两个方程不可能同时成立，因为 x + y 不可能同时等于5和7。这种方程组无解。在图形上，两条直线平行，没有交点。

情况三：无数解

比如：

\begin{cases}

x + y = 5 \\

2x + 2y = 10

\end{cases}

第二个方程其实就是第一个的两倍，实际上是同一个方程。这样的方程组有无数个解，比如 (1,4)、(2,3)、(3,2) 等等都满足。在图形上，两条直线重合。

初中阶段，我们主要处理有唯一解的情况。

16.11 这一章的核心

1. 方程组是两个或两个以上的方程放在一起，有共同的未知数，需要同时满足。

2. 代入法：把一个方程变形，代入另一个方程，化为一元一次方程求解。

3. 加减法：把两个方程相加或相减，消去一个未知数，化为一元一次方程求解。

4. 当系数不同时，先乘适当的数，使某个未知数的系数相等或相反。

5. 方程组能解决很多实际问题：年龄问题、鸡兔同笼、价格问题等。

6. 方程组可能有唯一解、无解、无数解三种情况。

动手试试

1. 用代入法解方程组

·

\begin{cases}

x + y = 10 \\

x - y = 2

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

2x + y = 13 \\

y = x + 1

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

3x - 2y = 4 \\

x = 2y

\end{cases}

\]

2. 用加减法解方程组

·

\begin{cases}

x + y = 12 \\

x - y = 4

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

2x + 3y = 13 \\

2x - 3y = 1

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

3x + 2y = 14 \\

x + 2y = 6

\end{cases}

\]

3. 系数不同时解方程组

·

\begin{cases}

2x + 3y = 12 \\

3x + 2y = 13

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

3x + 4y = 20 \\

2x + 3y = 14

\end{cases}

\]

4. 列方程组解应用题

· 两个数的和是20，差是4，求这两个数。

· 买2支铅笔和3个本子花了11元，买3支铅笔和2个本子花了9元，铅笔和本子各多少元？

· 鸡兔同笼，共15个头，40条腿，鸡兔各几只？

· 爸爸比儿子大30岁，5年后爸爸的年龄是儿子的4倍，现在两人各多少岁？

· 一个两位数，十位数字比个位数字大3，这个数等于两个数字之和的4倍，求这个两位数。

5. 判断方程组解的情况

·

\begin{cases}

x + y = 5 \\

2x + 2y = 10

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

x + y = 5 \\

x + y = 6

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

x + 2y = 7 \\

2x - y = 4

\end{cases}

\]

6. 思考题

代入法和加减法各有什么优点？在什么情况下用代入法更方便，什么情况下用加减法更方便？

---

下一章预告：不等式，比较大小

第17章 不等式，比较大小

17.1 从等号到不等号

到目前为止，我们一直在和等式打交道：3 + 5 = 8，x + 3 = 7，等等。等号表示“相等”。

但生活中，更多时候我们在比较大小：

· 你的身高超过1.5米才能玩这个游乐项目

· 买这个东西要不超过100元

· 考试至少要考60分才能及格

· 今天的气温低于昨天

这些都不是相等，而是不等。数学里用不等式来表示这种关系。

比如：

· 身高 > 1.5 米

· 价格 \le 100 元

· 分数 \ge 60 分

· 气温 < 0 度

17.2 不等号的种类

数学里有四种不等号：

大于号：a > b 表示 a 大于 b

比如 5 > 3，读作“5大于3”

小于号：a < b 表示 a 小于 b

比如 2 < 7，读作“2小于7”

大于等于号：a \ge b 表示 a 大于或等于 b

比如 x \ge 5 表示 x 可以是5，也可以是比5大的任何数

小于等于号：a \le b 表示 a 小于或等于 b

比如 y \le 10 表示 y 可以是10，也可以是比10小的任何数

怎么记这两个符号？大于号和小于号，开口方向指向谁，谁就大：

· a > b：开口向左，左边是 a，所以 a 大

· a < b：开口向右，右边是 b，所以 b 大

大于等于号和小于等于号，就是在下面加了一横，表示“可以等于”。

17.3 数轴上看不等式

在数轴上，不等式可以直观地表示出来。

比如 x > 3，表示所有大于3的数：

```

，|，|，|，|，|，|，|，>

1 2 3 4 5 6 7 8

○，>

```

在3的位置画一个空心圆，表示不包括3，然后向右画一条线，表示所有比3大的数。

比如 x \ge 3，表示所有大于或等于3的数：

```

，|，|，|，|，|，|，|，>

1 2 3 4 5 6 7 8

●，>

```

在3的位置画一个实心圆，表示包括3，然后向右画一条线。

比如 x < 2，表示所有小于2的数：

```

<，○，|，|，|，|，|，>

0 1 2 3 4 5 6

```

在2的位置画空心圆，向左画线。

比如 x \le 2，表示所有小于或等于2的数：

```

<，●，|，|，|，|，|，>

0 1 2 3 4 5 6

```

在2的位置画实心圆，向左画线。

17.4 不等式的性质

和等式一样，不等式也有自己的性质。但要注意，有些性质和等式一样，有些不一样。

性质一：两边加（或减）同一个数，不等号方向不变

如果 a > b，那么 a + c > b + c，a - c > b - c。

比如 5 > 3，两边加2：7 > 5，成立。

比如 x - 3 > 5，两边加3：x > 8，成立。

这个性质和等式完全一样。

性质二：两边乘（或除）同一个正数，不等号方向不变

如果 a > b 且 c > 0，那么 a \times c > b \times c，a \div c > b \div c。

比如 6 > 4，两边乘2：12 > 8，成立。

比如 2x < 10，两边除以2：x < 5，成立。

这个性质也和等式一样，但前提是乘除的数是正数。

性质三：两边乘（或除）同一个负数，不等号方向改变

这是不等式和等式最大的区别！

如果 a > b 且 c < 0，那么 a \times c < b \times c，a \div c < b \div c。

比如 6 > 4，两边乘 -2：

左边 6 \times (-2) = -12，右边 4 \times (-2) = -8

-12 < -8，不等号方向反了！

为什么？因为在数轴上，乘以负数会把数翻到另一边，大小关系就反过来了。

比如 2 < 5，两边乘 -1：

-2 > -5，确实反了。

所以一定要记住：乘以或除以负数，不等号要变方向。

17.5 解一元一次不等式

解不等式和解方程很相似，只是多了一条：乘除负数时要变号。

例1： x + 3 > 8

两边减3：

x > 5

解是 x > 5，表示所有大于5的数。

例2： 2x - 5 \le 7

两边加5：

2x \le 12

两边除以2（正数，不等号不变）：

x \le 6

例3： -3x > 12

两边除以 -3（负数，不等号要变）：

x < -4

检验：取 x = -5，左边 -3 \times (-5) = 15 > 12，成立。如果不变号，得到 x > -4，取 x = 0，左边 0 > 12？不成立。所以一定要变号。

例4： 2(x - 3) \ge 4x + 2

先去括号：

2x - 6 \ge 4x + 2

移项（把含 x 的项移到一边，常数项移到另一边）：

2x - 4x \ge 2 + 6

-2x \ge 8

两边除以 -2（负数，变号）：

x \le -4

17.6 不等式的解集

方程的解通常是一个或几个具体的数。比如 x + 3 = 8 的解是 x = 5。

不等式的解通常是一个范围，叫解集。比如 x > 5 表示所有大于5的数，有无穷多个。

解集可以用三种方式表示：

方式一：不等式表示

x > 5，x \le 3，等等。

方式二：数轴表示

画一条数轴，标出范围。

方式三：区间表示

· x > 5 写成 (5, +\infty)，读作“5到正无穷”，不包括5

· x \ge 5 写成 [5, +\infty)，读作“5到正无穷”，包括5

· x < 3 写成 (-\infty, 3)，读作“负无穷到3”，不包括3

· x \le 3 写成 (-\infty, 3]，读作“负无穷到3”，包括3

· 2 < x < 5 写成 (2, 5)，读作“2到5”，两边都不包括

· 2 \le x \le 5 写成 [2, 5]，读作“2到5”，两边都包括

区间表示法在高中很常用，现在先了解就行。

17.7 不等式的应用

不等式在生活中应用非常广泛。

例1：购物预算

小明有100元，想买几本书，每本书25元。他最多能买几本？

设买 x 本，总价 25x 元，不能超过100元：

25x \le 100

x \le 4

所以最多买4本。

例2：身高限制

玩某个游乐项目要求身高不低于1.2米。小明身高 h 米，要满足什么条件？

h \ge 1.2

例3：速度限制

高速公路上，车速不能低于60公里/小时，不能高于120公里/小时。设车速为 v，则：

60 \le v \le 120

例4：利润问题

一家商店卖某种商品，成本每件50元，售价 x 元。如果每天卖出 (100 - x) 件（因为价格越高卖得越少），每天利润 P = (x - 50)(100 - x)。要想利润不低于600元，求 x 的范围。

这需要解二次不等式，初中阶段不要求。但可以看出，不等式能解决很多优化问题。

例5：考试分数

小明想得优秀，需要平均分不低于90分。前三次考试分别是85、92、88，第四次考试要考多少分？

设第四次考 x 分，平均分：

\frac{85 + 92 + 88 + x}{4} \ge 90

\frac{265 + x}{4} \ge 90

265 + x \ge 360

x \ge 95

所以第四次至少要考95分。

17.8 不等式组

有时候我们需要同时满足几个不等式，这就叫不等式组。

比如：

\begin{cases}

x > 2 \\

x < 5

\end{cases}

表示 x 既要大于2，又要小于5，也就是 2 < x < 5。

在数轴上：

```

，|，|，|，|，|，|，>

1 2 3 4 5 6 7

○，○

```

两个空心圆之间。

再比如：

\begin{cases}

x \ge 1 \\

x \le 4

\end{cases}

就是 1 \le x \le 4。

如果两个不等式方向相反，比如：

\begin{cases}

x > 3 \\

x < 1

\end{cases}

没有数能同时大于3且小于1，所以这个不等式组无解。

如果两个不等式方向相同，比如：

\begin{cases}

x > 2 \\

x > 5

\end{cases}

取更大的范围：x > 5（因为大于5的数自然大于2）。

17.9 解不等式组的步骤

解不等式组的一般步骤：

1. 分别解每个不等式

2. 在数轴上表示每个不等式的解集

3. 找它们的公共部分（同时满足的部分）

4. 写出解集

例： 解不等式组

\begin{cases}

2x - 3 > 1 \\

3x + 2 \le 11

\end{cases}

解第一个：2x > 4，x > 2

解第二个：3x \le 9，x \le 3

在数轴上：

```

，|，|，|，|，|，|，>

1 2 3 4 5 6 7

○，●

```

第一个是 x > 2（2处空心，向右）

第二个是 x \le 3（3处实心，向左）

公共部分是 2 < x \le 3。

17.10 常见错误

解不等式时，有几个常见错误：

错误一：乘除负数不变号

比如 -2x > 6，有人写成 x > -3 ❌

正确应该是 x < -3。

错误二：移项不变号

比如 x + 3 > 5，移项得 x > 5 - 3 = 2 ✅

但有人会写成 x > 5 + 3 = 8 ❌

错误三：不等号方向搞混

比如 x < 3 和 x > 3 分不清。记住：开口朝向大的数。

错误四：解不等式组时取错范围

比如 x > 2 和 x > 5，有人取 x > 2 ❌，应该取更大的 x > 5。

17.11 这一章的核心

1. 不等号：>（大于）、<（小于）、\ge（大于等于）、\le（小于等于）

2. 数轴上：空心圆表示不包括，实心圆表示包括

3. 不等式性质：

· 两边加/减同一个数，不等号方向不变

· 两边乘/除同一个正数，不等号方向不变

· 两边乘/除同一个负数，不等号方向改变

4. 解一元一次不等式和解方程类似，但要小心乘除负数要变号

5. 不等式的解集是一个范围，可以用不等式、数轴、区间表示

6. 不等式组是多个不等式同时成立，解集是它们的公共部分

动手试试

1. 用不等式表示

· x 大于5

· y 小于或等于3

· a 不小于2（提示：不小于就是大于等于）

· b 不超过10

· 温度 t 在0度到30度之间（包括两端）

2. 在数轴上表示

· x > 4

· x \le -1

· -2 < x \le 3

· x \ge 0

· x < -3 或 x > 2

3. 解不等式

· x + 5 > 12

· 3x - 2 \le 7

· 4x + 3 \ge 2x - 1

· -2x < 8

· 5 - 3x > 2x + 10

4. 解不等式组

·

\begin{cases}

x > 2 \\

x < 7

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

x \ge 1 \\

x \le 5

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

2x - 1 > 3 \\

3x + 2 < 14

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

x + 3 \ge 5 \\

2x - 1 \le 9

\end{cases}

\]

·

\begin{cases}

3x + 2 > 5 \\

4x - 3 < 13

\end{cases}

\]

5. 应用题

· 小明有50元，想买一些笔记本，每本8元，他最多能买几本？

· 某游乐项目要求身高不低于1.2米，不超过1.8米。设身高为 h，用不等式表示。

· 某商品进价80元，售价 x 元，要想利润不低于20元，x 应满足什么条件？

· 小丽前三次考试分别是78、85、92，第四次要考多少分才能使平均分不低于85？

· 一个长方形的长是宽的2倍，周长不超过30厘米，宽最大是多少？

6. 判断对错

· 如果 a > b，那么 -a > -b（对还是错？）

· 如果 a < b 且 c > 0，那么 ac < bc（对还是错？）

· 如果 a > b，那么 a^2 > b^2（提示：考虑负数的情况）

7. 思考题

为什么乘以负数要变号？你能用数轴解释吗？

---

下一章预告：指数，相同的数相乘

第18章 指数，相同的数相乘

18.1 从乘法到指数

我们先来回想一下乘法的来历：

加法是“相同的数相加”，比如 3 + 3 + 3 + 3 = 12，我们写成 3 \times 4 = 12。

那如果遇到“相同的数相乘”呢？

比如 2 \times 2 \times 2 \times 2，四个2相乘，怎么写？

有人可能会想：能不能像乘法一样，也发明一种简便写法？

当然可以！数学家发明了指数。

2 \times 2 \times 2 \times 2 写成 2^4，读作“2的4次方”。

· 2叫底数，表示要乘的那个数

· 4叫指数，表示要乘的次数

· 整个叫幂，2^4 是2的4次幂

所以：

2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

18.2 指数的读法和写法

指数怎么读？

· 2^2：2的平方（也叫2的2次方）

· 2^3：2的立方（也叫2的3次方）

· 2^4：2的4次方

· 2^5：2的5次方

· 2^n：2的n次方

为什么 2^2 特别叫“平方”？因为正方形的面积是边长的平方，所以 a^2 就是边长为 a 的正方形面积。

为什么 2^3 特别叫“立方”？因为正方体的体积是边长的立方，所以 a^3 就是边长为 a 的正方体体积。

写法上注意：指数是小的，写在底数的右上角。不能写成 2^4 写成 24，那是二十几，完全不一样。

18.3 指数运算的例子

来看几个例子：

3^2 = 3 \times 3 = 9

3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27

3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81

5^2 = 5 \times 5 = 25

5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125

5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625

10^2 = 10 \times 10 = 100

10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000

10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000

你发现规律了吗？10^n 就是1后面跟 n 个0。

18.4 指数的特殊情况

有几个特殊情况要注意：

情况一：指数是1

2^1 = 2

5^1 = 5

a^1 = a

任何数的1次方都等于它本身。

情况二：指数是0

2^0 = 1？这怎么理解？

2^3 = 8，2^2 = 4，2^1 = 2，你发现规律了吗？指数每减1，结果除以2：

2^3 = 8

2^2 = 8 \div 2 = 4

2^1 = 4 \div 2 = 2

2^0 = 2 \div 2 = 1

所以 2^0 = 1。

同样，3^0 = 1，5^0 = 1，100^0 = 1。

但注意：0^0 是个特殊情况，数学上不定义，我们不管它。

情况三：底数是负数

(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4

(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8

(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16

你发现规律了吗？负数的偶次方得正数，奇次方得负数。

因为负负得正，两个负数相乘得正，三个负数相乘得负，四个负数相乘得正……

所以：

· (-a)^{偶数} = a^{偶数}（正数）

· (-a)^{奇数} = -a^{奇数}（负数）

情况四：底数是分数

(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

(\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

分数乘方，分子分母分别乘方。

18.5 指数的运算法则

指数有自己的一套运算法则，非常重要。

法则一：同底数幂相乘，底数不变，指数相加

a^m \times a^n = a^{m+n}

比如 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128

验证：2^3 = 8，2^4 = 16，8 \times 16 = 128，正确。

比如 3^2 \times 3^5 = 3^{2+5} = 3^7 = 2187

为什么？因为 2^3 是3个2相乘，2^4 是4个2相乘，合起来就是7个2相乘。

法则二：同底数幂相除，底数不变，指数相减

a^m \div a^n = a^{m-n} \quad (a \neq 0, m > n)

比如 2^5 \div 2^3 = 2^{5-3} = 2^2 = 4

验证：2^5 = 32，2^3 = 8，32 \div 8 = 4，正确。

比如 3^4 \div 3^2 = 3^{4-2} = 3^2 = 9

如果 m = n，比如 2^3 \div 2^3 = 2^{3-3} = 2^0 = 1，正好验证了 2^0 = 1。

法则三：幂的乘方，底数不变，指数相乘

(a^m)^n = a^{m \times n}

比如 (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64

验证：2^3 = 8，8^2 = 64，正确。

比如 (3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561

为什么？(2^3)^2 意思是两个 2^3 相乘，而每个 2^3 是3个2，所以一共是 3 \times 2 = 6 个2相乘。

法则四：积的乘方，等于乘方的积

(a \times b)^n = a^n \times b^n

比如 (2 \times 3)^2 = 6^2 = 36

2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36，相等。

比如 (2x)^3 = 2^3 \times x^3 = 8x^3

法则五：商的乘方，等于乘方的商

(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)

比如 (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

18.6 指数运算法则的应用

这些法则可以让我们简化很多计算。

例1： 计算 2^5 \times 2^3 \div 2^4

= 2^{5+3-4} = 2^4 = 16

例2： 计算 (3^2)^3 \times 3^4

= 3^{2 \times 3} \times 3^4 = 3^6 \times 3^4 = 3^{10} = 59049

例3： 计算 \frac{4^5}{2^5}

注意底数不同，不能直接用同底数法则。但 4 = 2^2，所以：

\frac{(2^2)^5}{2^5} = \frac{2^{10}}{2^5} = 2^{5} = 32

例4： 化简 (2x^2y^3)^4

= 2^4 \times (x^2)^4 \times (y^3)^4 = 16 \times x^{8} \times y^{12} = 16x^8y^{12}

18.7 科学记数法

指数有一个非常重要的应用：表示很大或很小的数。

比如地球的质量大约是 5\,970\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000 千克，这个数写出来太长了，而且容易数错零。

用指数可以简洁地表示：5.97 \times 10^{24} 千克。

这叫科学记数法，形式是：

a \times 10^n

其中 1 \le a < 10，n 是整数。

比如：

· 3000 = 3 \times 10^3

· 45\,000 = 4.5 \times 10^4

· 0.005 = 5 \times 10^{-3}（负指数表示很小的数，后面会讲）

18.8 负指数

前面我们学了 a^0 = 1，那 a^{-n} 是什么意思？

从同底数幂除法来看：

a^0 \div a^n = a^{0-n} = a^{-n}

但 a^0 \div a^n = 1 \div a^n = \frac{1}{a^n}

所以：

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

比如 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} = 0.5

2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25

2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125

10^{-1} = 0.1

10^{-2} = 0.01

10^{-3} = 0.001

所以科学记数法里的 10^{-3} 就是 \frac{1}{1000}。

负指数的运算法则和正指数一样：

a^{-m} \times a^{-n} = a^{-m-n}

(a^{-m})^n = a^{-m \times n}

等等。

18.9 指数的大小比较

比较两个幂的大小，有时需要一些技巧。

如果底数相同，指数越大，值越大（底数大于1时）。

比如 2^3 < 2^4，因为 8 < 16。

但底数小于1时，情况相反：

(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0.125，(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25，所以指数越大值越小。

如果指数相同，底数越大，值越大。

比如 3^2 < 4^2，因为 9 < 16。

如果底数和指数都不同，可能需要转化为相同底数或相同指数，或者用中间值比较。

比如比较 2^4 和 3^3：

2^4 = 16，3^3 = 27，所以 2^4 < 3^3。

18.10 指数爆炸

指数有一个特点：增长非常快，这叫“指数爆炸”。

比如：

2^1 = 2

2^2 = 4

2^3 = 8

2^4 = 16

2^5 = 32

2^6 = 64

2^7 = 128

2^8 = 256

2^9 = 512

2^{10} = 1024

到 2^{20} 已经是 1048576，一百多万。

2^{30} 是 1073741824，十亿多。

2^{40} 是一万亿左右。

有个著名的故事：古印度国王要奖赏发明国际象棋的人，那人说：“请在棋盘的第一格放1粒麦子，第二格放2粒，第三格放4粒，第四格放8粒……每格翻倍，放满64格就行。”国王以为很容易，结果一算，全世界的麦子都不够。因为第64格是 2^{63} 粒，总数是 2^{64}-1 粒，大约是 1.84 \times 10^{19} 粒，相当于几千亿吨！

这就是指数爆炸的威力。

18.11 指数和乘方的区别

有人可能会混淆“指数”和“乘方”这两个词。

· 乘方是一种运算，就像加法、乘法一样

· 指数是乘方运算里的一个部分，和底数一起构成幂

比如 2^3：

· 2是底数

· 3是指数

· 整个叫幂

· 求 2^3 的过程叫乘方

18.12 这一章的核心

1. 指数表示相同的数相乘：a^n = a \times a \times \cdots \times a（n个a相乘）

2. 特殊指数：a^1 = a，a^0 = 1（a \neq 0），a^{-n} = \frac{1}{a^n}

3. 负数的乘方：偶次方得正，奇次方得负

4. 指数运算法则：

· 同底数幂相乘：a^m \times a^n = a^{m+n}

· 同底数幂相除：a^m \div a^n = a^{m-n}

· 幂的乘方：(a^m)^n = a^{m \times n}

· 积的乘方：(ab)^n = a^n b^n

· 商的乘方：(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}

5. 科学记数法：a \times 10^n，其中 1 \le a < 10

6. 指数爆炸：指数增长非常快

动手试试

1. 计算

· 2^5

· 3^4

· 5^3

· 10^6

· (-2)^3

· (-3)^4

· (\frac{1}{2})^4

· (\frac{2}{3})^3

2. 用指数法则计算

· 2^3 \times 2^4

· 3^5 \div 3^2

· (2^3)^2

· (3^2)^3

· (2 \times 3)^4

· (\frac{2}{3})^3

3. 化简

· x^3 \times x^5

· a^7 \div a^2

· (y^4)^3

· (2a^2b^3)^4

· (\frac{x^2}{y^3})^2

4. 负指数

· 2^{-1}

· 3^{-2}

· 10^{-3}

· 5^{-2}

· (\frac{1}{2})^{-1}（提示：a^{-n} = \frac{1}{a^n}，那 \frac{1}{a^{-n}} = a^n）

5. 科学记数法

把下面各数写成科学记数法：

· 5000

· 123000

· 0.006

· 0.00045

· 地球到太阳的距离约149600000公里

6. 比较大小

· 2^3 和 3^2

· 2^4 和 4^2

· 3^4 和 4^3

· 5^2 和 2^5

7. 思考题

为什么 a^0 = 1？你能用除法法则解释吗？为什么 0^0 不定义？

---

下一章预告：根号，平方的逆运算

第19章 根号，平方的逆运算

19.1 从平方到开方

上一章我们学了平方：一个数乘以它自己。

比如 3^2 = 3 \times 3 = 9，我们说“3的平方是9”。

那反过来呢？如果我知道一个数是9，它是哪个数的平方？

这个问题就是：哪个数乘以自己等于9？

答案是3，因为 3 \times 3 = 9。当然，-3也行，因为 (-3) \times (-3) = 9。

我们把这个过程叫开平方，得到的数叫平方根。

9的平方根是3和-3。

19.2 根号的引入

为了表示“哪个数的平方等于某个数”，数学家发明了一个符号：\sqrt{\phantom{x}}，读作“根号”。

比如：

· \sqrt{9} = 3（表示9的算术平方根，通常取正的）

· \sqrt{16} = 4

· \sqrt{25} = 5

· \sqrt{1} = 1

· \sqrt{0} = 0

注意：\sqrt{9} 通常只表示正的平方根，也就是3。如果要说两个平方根，就写成 \pm \sqrt{9} = \pm 3。

19.3 什么是平方根

平方根的定义：如果 x^2 = a，那么 x 叫做 a 的平方根。

比如：

· 3^2 = 9，所以3是9的平方根

· (-3)^2 = 9，所以-3也是9的平方根

· 4^2 = 16，所以4是16的平方根

· (-4)^2 = 16，所以-4也是16的平方根

所以正数有两个平方根，它们互为相反数。

0的平方根：0^2 = 0，所以0的平方根就是0，只有一个。

负数的平方根：有没有一个数的平方等于-4？没有。因为任何数的平方都是非负数（正数或0）。所以负数没有平方根（在实数范围内）。

19.4 根号的运算

根号有一些基本的运算规则。

规则一：\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}

比如 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}

比如 \sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36} = 6，当然 2 \times 3 = 6，也成立。

规则二：\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}（b \neq 0）

比如 \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2

规则三：\sqrt{a^2} = |a|（绝对值）

比如 \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3

\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3，不是-3。所以 \sqrt{a^2} 永远是非负的。

19.5 化简根号

有些根号可以化简。

比如 \sqrt{12}，12可以写成 4 \times 3，而 \sqrt{4} = 2，所以：

\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

比如 \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}

比如 \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}

比如 \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}

化简的原则：把根号里的数分解，尽量把能开方的因数开出来。

19.6 根号的加减

根号的加减，和合并同类项类似，只有同类根式才能相加减。

什么叫同类根式？就是根号里的数相同。

比如 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}（就像 2x + 5x = 7x）

比如 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 6\sqrt{2}

但 \sqrt{2} + \sqrt{3} 不能合并，就像 x + y 不能合并一样。

19.7 分母有理化

有时候，根号会出现在分母里，比如 \frac{1}{\sqrt{2}}。这种形式不太好看，数学家喜欢把它化成根号在分子上的形式。

怎么化？利用 \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a：

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

这叫分母有理化。

再比如 \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}

如果分母是 \sqrt{a} + \sqrt{b} 这种形式，需要用平方差公式，初中阶段先不涉及。

19.8 立方根和其他根号

除了平方根，还有立方根。

立方根的定义：如果 x^3 = a，那么 x 叫做 a 的立方根，记作 \sqrt[3]{a}。

比如：

· 2^3 = 8，所以 \sqrt[3]{8} = 2

· 3^3 = 27，所以 \sqrt[3]{27} = 3

· (-2)^3 = -8，所以 \sqrt[3]{-8} = -2

注意：立方根和平方根不同，负数有立方根，而且只有一个。

还有四次根、五次根等等，统称根式。

19.9 无理数和根号

我们在第7章学过，有些根号是无理数，比如 \sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5} 等。

这些数的小数形式无限不循环：

· \sqrt{2} \approx 1.41421356\ldots

· \sqrt{3} \approx 1.7320508\ldots

· \sqrt{5} \approx 2.2360679\ldots

但有些根号是有理数，比如 \sqrt{4} = 2，\sqrt{9} = 3，\sqrt{16} = 4。

判断一个根号是不是有理数，就看根号里的数是不是完全平方数（对于平方根来说）。

19.10 根号的近似值

有时候我们需要根号的近似值，可以用计算器，也可以用手工估算。

比如估算 \sqrt{10}：

我们知道 3^2 = 9，4^2 = 16，所以 \sqrt{10} 在3和4之间，靠近3。

试 3.1^2 = 9.61，3.2^2 = 10.24，所以 \sqrt{10} \approx 3.16 左右。

更精确地，3.16^2 = 9.9856，3.17^2 = 10.0489，所以 \sqrt{10} \approx 3.162。

19.11 这一章的核心

1. 平方根：如果 x^2 = a，那么 x 是 a 的平方根。正数有两个平方根，互为相反数。

2. 根号 \sqrt{a} 表示 a 的算术平方根（非负的那个）。

3. 负数没有平方根（实数范围内）。

4. 根号的运算：

· \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}

· \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

· \sqrt{a^2} = |a|

5. 化简根号：把能开方的因数开出来。

6. 同类根式才能相加减。

7. 分母有理化：把分母中的根号去掉。

8. 立方根：\sqrt[3]{a}，负数也有立方根。

动手试试

1. 计算

· \sqrt{16}

· \sqrt{25}

· \sqrt{36}

· \sqrt{49}

· \sqrt{64}

· \sqrt{81}

· \sqrt{100}

2. 化简根号

· \sqrt{8}

· \sqrt{12}

· \sqrt{18}

· \sqrt{20}

· \sqrt{27}

· \sqrt{32}

· \sqrt{45}

· \sqrt{50}

· \sqrt{72}

3. 根号运算

· \sqrt{2} \times \sqrt{3}

· \sqrt{5} \times \sqrt{5}

· \sqrt{6} \times \sqrt{6}

· \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}

· \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}

· \sqrt{8} + \sqrt{2}（提示：先化简）

4. 分母有理化

· \frac{1}{\sqrt{3}}

· \frac{2}{\sqrt{5}}

· \frac{3}{\sqrt{6}}

· \frac{5}{\sqrt{10}}

5. 立方根

· \sqrt[3]{8}

· \sqrt[3]{27}

· \sqrt[3]{64}

· \sqrt[3]{-8}

· \sqrt[3]{-27}

6. 估算

估算下列根号的值（精确到0.1）：

· \sqrt{7}

· \sqrt{11}

· \sqrt{13}

· \sqrt{15}

7. 思考题

为什么 \sqrt{a^2} = |a|，而不是 a？能举个例子说明吗？

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下一章预告：从算术到代数，我们走过的路

第20章 从算术到代数，我们走过的路

20.1 回顾：数的扩张

这本书从最基础的问题开始：数是什么？

我们走了一条很长的路：

第一步：自然数

从一一对应开始，我们认识了自然数：1、2、3、4……

自然数可以数东西，可以表示顺序。但很快我们发现它不够用。

第二步：负数

3减5等于多少？自然数回答不了这个问题。于是我们引进了负数，用来表示欠钱、零下温度、反方向。

有了负数，数轴向左延伸，变得完整了。

第三步：分数

分东西的时候，自然数也不够用。1张饼分给4个人，每人多少？于是我们引进了分数。

分数把数轴上的空隙填满了，每两个整数之间都有无数个分数。

第四步：小数

小数是分数的另一种写法，特别是分母是10、100、1000……的分数。

小数更直观，也更方便计算。

第五步：无理数

边长为1的正方形的对角线有多长？\sqrt{2} 不能写成两个整数的比，是个无限不循环小数。这叫无理数。

无理数的发现，让数轴真正被填满了。

第六步：实数

有理数和无理数合在一起，就是实数。数轴上的每一个点，都对应一个实数。

这就是数的扩张过程：自然数 → 整数（加入负数） → 有理数（加入分数） → 实数（加入无理数）。

每一次扩张，都是为了解决之前解决不了的问题。

20.2 回顾：运算的发展

数的运算也在不断发展：

加法：最根本的运算，就是把东西合在一起。

在数轴上，加法就是向右移动。

减法：加法的逆运算，用来求差、求剩余、求补数。

在数轴上，减法就是向左移动。

乘法：加法的简便运算，用来求几个相同加数的和。

在数轴上，乘法就是跳着走。

除法：乘法的逆运算，用来平均分、求倍数。

在数轴上，除法就是看能跳几次。

指数：乘法的简便运算，用来表示几个相同因数的积。

指数爆炸，增长非常快。

根号：指数的逆运算，用来求平方根、立方根。

每一种新运算，都是为了解决之前解决不了的问题。

20.3 回顾：从算术到代数

算术和代数的根本区别是什么？

算术：已知具体的数，求结果。

比如：3个苹果加5个苹果，一共几个？3+5=8。

代数：用字母代表未知的数，把问题翻译成方程，然后解出来。

比如：小明有一些苹果，小红比小明多3个，两人一共15个，小明有几个？

设小明有 x 个，则小红有 x+3 个，方程 x + (x+3) = 15，解得 x=6。

代数的核心思想是：用符号代表未知，把文字问题翻译成数学语言，然后用数学方法解决。

20.4 代数的主要工具

我们学了哪些代数工具？

第一：用字母表示数

· 表示未知的数：x + 3 = 8

· 表示变化的数：2n 表示 n 的2倍

· 表示规律：a + b = b + a

· 表示关系：S = a \times b

第二：代数式的运算

· 合并同类项：3x + 2x = 5x

· 去括号：-(a - b) = -a + b

· 代入求值：当 x = 5 时，2x + 3 = 13

第三：等式与方程

· 等式的性质：两边同加、同减、同乘、同除（不能除0）

· 解一元一次方程：ax + b = c 型

· 解方程组：代入法、加减法

第四：不等式

· 不等号：>、<、\ge、\le

· 不等式的性质：乘除负数要变号

· 解一元一次不等式

· 解不等式组

第五：指数与根号

· 指数运算法则：a^m \times a^n = a^{m+n} 等

· 科学记数法：a \times 10^n

· 平方根与立方根

· 根号的运算与化简

20.5 代数的思维方式

学完这本书，你应该已经体会到代数的思维方式：

思维一：抽象

把具体的数用字母代替，从个别到一般。

比如 a + b = b + a 这一个式子，概括了无数个具体算式。

思维二：结构化

把复杂问题分解成简单步骤。

比如解方程 2(x - 3) + 5 = 11：去括号→移项→合并→系数化为1。

思维三：逆向思维

从结果出发，倒着推回去。

比如知道和与一个加数，求另一个加数，这就是减法。

知道积与一个因数，求另一个因数，这就是除法。

思维四：系统化

把各种情况用统一的规则处理。

比如负数的加减、分数的运算，都有统一的法则。

20.6 代数有什么用

你可能想问：学这些有什么用？

用处一：解决实际问题

比如购物问题：买3个苹果和2个梨花了18元，苹果比梨贵1元，苹果和梨各多少钱？

设苹果 x 元，梨 y 元，列方程组解出来就行。

比如年龄问题：爸爸比小明大28岁，5年后爸爸的年龄是小明的3倍，现在两人各几岁？

设爸爸 x 岁，小明 y 岁，列方程解。

比如速度问题：一辆车从A到B，去时速度60公里/小时，回时速度40公里/小时，平均速度多少？

这需要列方程，不能简单地取平均数。

用处二：理解世界

很多自然规律用代数表示：

· 匀速运动：s = vt

· 重力势能：E = mgh

· 欧姆定律：I = \frac{U}{R}

没有代数，这些规律就没法简洁地表达。

用处三：为进一步学习打基础

后面要学的函数、几何、概率统计，都需要代数基础。

比如函数 y = 2x + 1，就是代数的延伸。

20.7 数学学习的三个阶段

学数学通常会经历三个阶段：

第一阶段：算术阶段

主要和具体的数打交道，学会加减乘除、分数小数。

第二阶段：代数阶段

开始用字母代替数，学会解方程、列式子，从具体走向抽象。

第三阶段：分析阶段

研究变化和关系，比如函数、微积分。

这本书带你完成了从第一阶段到第二阶段的跨越。

20.8 给自学者的话

如果你是从头到尾自学完这本书的，我想对你说几句话：

第一，你能坚持下来，已经很了不起了。

自学数学需要很大的耐心和毅力。遇到看不懂的地方，停下来想一想，回头翻一翻，再继续往前走，这个过程本身就是成长。

第二，数学不是天才的专利。

很多人觉得数学难，是因为一开始没搞懂最基本的概念，或者被复杂的术语吓住了。其实数学的每一个概念，都是从生活里来的，都有它存在的理由。只要你愿意慢慢想，一定能想明白。

第三，动手很重要。

数学不是看会的，是做会的。书上的练习题，一定要自己动手做一遍。做错了没关系，知道错在哪，改过来，就进步了。

第四，数学是一个体系。

前面学的后面要用，后面学的能帮我们理解前面。如果你发现某个地方卡住了，很可能是因为前面的某个概念没搞懂。回头翻翻，把那个点搞明白，就能继续往前走。

20.9 接下来学什么

这本书结束了，但数学的路还很长。

如果你要继续学下去，下面是建议的路径：

第一本：几何初步

从代数到几何，学习点、线、面、角、三角形、四边形、圆，以及长度、面积、体积的计算。几何能培养空间想象力，是数学的另一个重要分支。

第二本：方程与函数进阶

学习二元一次方程、一元二次方程，以及函数的概念。函数是描述变化的重要工具，也是连接代数和几何的桥梁。

第三本：统计与概率

学习数据的收集、整理、分析，以及概率的基本概念。这部分和生活联系很紧密，也很有意思。

第四本：微积分初步

学习变化率和累积的思想，理解导数和积分的概念。这是高等数学的入门，能帮你从新的角度看世界。

20.10 这一章的核心

1. 数的扩张：自然数 → 整数 → 有理数 → 实数

2. 运算的发展：加减 → 乘除 → 指数 → 根号

3. 代数的核心：用字母代表未知，把文字问题翻译成数学语言

4. 代数工具：字母表示、代数式运算、方程、不等式、指数、根号

5. 代数思维：抽象、结构化、逆向、系统化

6. 数学的三个阶段：算术 → 代数 → 分析

动手试试

1. 回顾数的扩张

· 为什么需要负数？举一个生活中用负数的例子。

· 为什么需要分数？举一个生活中用分数的例子。

· 为什么需要无理数？\sqrt{2} 出现在哪里？

2. 回顾运算

· 加法和减法是什么关系？

· 乘法和除法是什么关系？

· 指数和根号是什么关系？

3. 用代数解决实际问题

· 一个数加上它的2倍等于15，求这个数。

· 小明比小红大5岁，两人年龄和是35，两人各多少岁？

· 买3支铅笔和2个本子花了11元，买2支铅笔和3个本子花了9元，铅笔和本子各多少元？

· 一个长方形的长是宽的2倍，周长是30，长和宽各是多少？

4. 总结

· 这本书你印象最深的概念是什么？

· 你觉得哪一章最难？现在搞懂了吗？

· 你觉得自己最大的进步是什么？

5. 展望

· 接下来你想学什么？

· 你觉得数学在生活中有哪些用处？

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后记

亲爱的读者：

当你翻到这一页，说明你已经把这本书从头到尾学完了。不管你是用了几天、几周还是几个月，能坚持到这里，都值得给自己一点掌声。

这本书从最原始的数数开始，一步一步带你认识了负数、分数、小数、无理数，学会了加减乘除，最后进入了代数的世界，用字母代替数，用方程解决问题。

你可能已经发现，数学并不是一堆枯燥的公式和定理，而是一套思考问题的方法。每一个新概念的出现，都是为了解决之前解决不了的问题。数学在不断发展，你的思维也在不断发展。

如果这本书让你觉得“数学其实也没那么难”，那我的目的就达到了。

如果这本书让你对数学产生了兴趣，想要继续学下去，那是我最大的荣幸。

数学的路还很长，但你已经迈出了最重要的一步。

祝你在数学的世界里，继续探索，继续成长。

我们下一本书再见。

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【全书完】

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附录：常用数学符号

符号 读法 意义

+ 加号 加法运算

- 减号 减法运算

\times 乘号 乘法运算

\div 除号 除法运算

= 等号 相等

\neq 不等号 不相等

> 大于号 大于

< 小于号 小于

\ge 大于等于 大于或等于

\le 小于等于 小于或等于

\pm 正负号 正或负

\sqrt{\phantom{x}} 根号 平方根

\sqrt[3]{\phantom{x}} 三次根号 立方根

a^n a的n次方 指数运算

a^{-n} a的负n次方 负指数

\( a \)

\infty 无穷大 无穷

\pi 圆周率 约3.14159

\approx 约等于 近似相等

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常用公式

加法交换律：a + b = b + a

加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

乘法交换律：a \times b = b \times a

乘法结合律：(a \times b) \times c = a \times (b \times c)

乘法分配律：a \times (b + c) = a \times b + a \times c

指数法则：

· a^m \times a^n = a^{m+n}

· a^m \div a^n = a^{m-n}（a \neq 0）

· (a^m)^n = a^{m \times n}

· (ab)^n = a^n b^n

· (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}（b \neq 0）

· a^0 = 1（a \neq 0）

· a^{-n} = \frac{1}{a^n}

根号法则：

· \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}

· \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}（b \neq 0）

· \sqrt{a^2} = |a|

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术语表

术语 解释

自然数 1、2、3、4……

整数 自然数、0、负数

有理数 可以写成两个整数之比的数

无理数 不能写成两个整数之比的数，无限不循环小数

实数 有理数和无理数的总称

数轴 表示数的直线

绝对值 数轴上点到原点的距离

方程 含有未知数的等式

方程的解 使方程成立的未知数的值

解方程 求方程的解的过程

方程组 两个或两个以上的方程放在一起

不等式 用不等号连接的式子

指数 表示相同数相乘的次数

底数 指数运算中要被乘的数

幂 指数运算的结果

平方根 平方等于某个数的数

算术平方根 非负的平方根

立方根 立方等于某个数的数

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恭喜你完成了第一本书！